第4章 第8节 解三角形的实际应用（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第八节　解三角形的实际应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)． (2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等． (3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以计算出A，B两点的距离为(　 ) A．20 m B．30 m C．40 m D．50 m 解析：选D　由三角形内角和定理可知 ∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°， 由正弦定理得：＝⇒＝⇒AB＝50 m，故选D. 2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝________m. 解析：在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°， CD＝10 m，由正弦定理＝ 可得＝， 可得CB＝20×＝20 m， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 所以塔高AB＝BC＝20 m. 答案：20 3．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为________km. 解析：如图，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝x km，则由余弦定理知9＝x2＋4－4x·cos 120°，∵x>0，∴x＝－1. 答案：－1 4.某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台E点和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚A点到E点在水平线上的射影B点的距离为10 m，则旗杆的高是________m. 解析：由题意得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°， AE＝，所以AD＝＝， 因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60° ＝10(3－)． 答案：10(3－) 测量距离问题 [典例]　如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点) [解]　在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°， 所以AB＝BD＝1. 因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝(km)． 在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°， 得9＝3＋CD2＋2××CD. 即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝(km)(负值舍去)，故BC＝BD＋CD＝(km)． 小王和小李2个小时可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5 km， 而<＝＝2.5， 所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰． [方法技巧] 距离问题的解题思路 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解． [提醒]　①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．　　 [针对训练] 1．某船从A处向北偏东60°方向航行2 千米后到达B处，然后朝南偏西30°的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为(　 ) A. 千米 B．2 千米 C．3千米 D．6千米 解析：选B　如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝6，∠ABC＝30°， 由余弦定理得 AC＝ ＝＝2，所以A处与C处之间的距离为2 千米． 故选B. 2．(2023·天津模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于(　 ) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(－1) m 解析：选C　从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，气球的高度是60 m， 所以∠ABC＝105°，∠ACB＝30°，∠CAB＝45°， 所以AB＝，由正弦定理可得＝，所以BC＝＝ ＝120(－1)． 测量高度问题 [典例