第5章 第1节 平面向量的概念及线性运算（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第五章| 平面向量及其应用、复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. 4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小叫做向量的长度 (或称模) 记作|a|或|| 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量) 0与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 减法 求两向量的差(即求a与b的相反向量－b的和的运算) a－b＝a＋(－b) 续表 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.注意两向量共线包括同向或反向共线． 4．常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． (2)O为△ABC重心的充要条件为＋＋＝0. (3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有(　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 2.(多选)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，＝a，＝b.下列命题正确的是(　 ) A．＝a＋b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＋＋＝0 答案：ABD 3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________. 答案： 4．已知＝－＋，则＝________. 答案： 5．若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD的形状是________． 答案：等腰梯形 基础点(一)　平面向量的概念　 [题点全训] 1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　 ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 解析：选C　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A、B、D；当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件． 2．(多选)下列四个选项中，正确的是(　 ) A．∥，就是所在的直线与所在的直线平行 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b 解析：选BC　A不正确，所在的直线与所在的直线可能重合；B正确，∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝；C正确，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；D不正确，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选B、C. 3.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是(　 ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选D　根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝. [一“点”就过] (1)相等向量