第5章 第4节 复数（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第四节　复　数 1.通过方程的解，认识复数. 2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查对复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念的认识. 3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算. 1．复数的定义及分类 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b. (2)复数的分类 2．复数的有关概念 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R) 3．复数的几何意义 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 实轴、虚轴 在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数的几何表示 复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量 4.复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则： (1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 5．常用结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)． (3)z· ＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 6．复数加减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数． (2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是－＝所对应的复数． 1．若a∈R，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则(　 ) A．a≠2且a≠－1 B．a＝0 C．a＝2 D．a＝0或a＝2 答案：B 2．若复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(　 ) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：D 3．复数z＝等于(　 ) A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i 答案：A 4．(2021·浙江高考)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a＝(　 ) A．－1 B．1 C．－3 D．3 答案：C 5．(2021·北京高考)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝(　 ) A．1 B．i C．1－i D．1＋i 答案：D 基础点(一)　复数的概念　 [题点全训] 1．已知是纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a＝(　 ) A．－2 B．－ C. D．2 解析：选C　＝＝，若为纯虚数，则解得a＝. 2．已知m，n∈R，且mi(3＋i)＝2＋ni，则m＋n＝(　 ) A．－8 B．－4 C．4 D．8 解析：选A　由mi(3＋i)＝2＋ni可得－m＋3mi＝2＋ni，则解得所以m＋n＝－8. 3．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　 ) A．z的虚部为－1 B．|z|＝ C．z2为纯虚数 D．z的共轭复数为－1－i 解析：选ABC　由题意得z＝＝＝1－i. 对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确； 对于B，|z|＝|1－i|＝，故B正确； 对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确； 对于D，z＝1－i的共轭复数＝1＋i，故D不正确．故选A、B、C. [一“点”就过] 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 基础点(二)　复数的四则运算　 [题点全训] 1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　 ) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i 解析：选C　因为z＝2－i，所以＝2＋i，则z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i.故选C. 2．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　 ) A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i 解析：选B　因为(1－i