第4章 第4节 三角函数的图象与性质（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第四节　三角函数的图象与性质 1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 (k∈Z)上是递增函数，在 (k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z)上是递增函数 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是(k∈Z) 对称中心是(k∈Z) 3．常用结论 (1)对称性与周期性 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期． (2)奇偶性 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ，k∈Z，为奇函数的充要条件是φ＝kπ，k∈Z. 答案：D 2．函数y＝1＋cos x(x∈[0,2π])的简图是(　 ) 答案：D 3．下列关系式正确的是(　 ) A．sin 11°＜cos 10°＜sin 168° B．sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C．sin 11°＜sin 168°＜cos 10° D．cos 10°＜sin 168°＜sin 11° 解析：选C　sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 4．函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　 ) A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2 解析：选C　因为f(x)＝sin＋cos＝sin，所以最小正周期T＝＝6π.因为≤1，所以f(x)max＝.故选C. 5．若函数y＝cos(x＋φ)为奇函数，则最小的正数φ＝________. 解析：因为函数y＝cos(x＋φ)为奇函数，所以只需φ＝＋kπ，k∈Z，又φ＞0，即＋kπ＞0，k∈Z，所以k＝0时，φ的最小值为. 答案： 6．函数y＝sin的单调递增区间为________． 解析：令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)． 答案：(k∈Z) 基础点(一)　三角函数的定义域和值域　 [题点全训] 1．函数f＝ 的定义域为(　 ) A.，k∈Z 　　　 B. C.，k∈Z 　　 D．R 解析：选C　由题得sin x≥，∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 2．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　 ) A．[－2,2] B．[－，] C．[－1,1] D. 解析：选B　因为f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x－cos x ＝sin， 所以函数f(x)的值域为[－，]．故选B. 3．函数y＝cos2x＋3sin x－(x∈R)的最大值是(　 ) A. B. C．－1 D．1 解析：选A　y＝cos2x＋3sin x－＝－sin2x＋3sin x－＝－2＋.令sin x＝t，则－1≤t≤1.而y＝－2＋在[－1,1]上单调递增，则当t＝1时，ymax＝－2＋＝.故选A. 4．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 解析：∵f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x的最大值为2， ∴cos x＝1，解得x＝2kπ，k∈Z， 且sin(x＋φ)＝sin(2kπ＋φ)＝sin φ＝1， ∴φ＝＋2nπ，n∈Z， ∴可取φ＝. 答案：(答案不唯一) [一“点”就过] 求解三角函数的值域(最值)的常见类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于