第3章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及其意义、导数的运算 1.通过实例分析，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数限于形如fax＋b的导数. 1．导数的概念 (1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ (2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 3．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)＝(g(x)≠0)； (4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)． 5．复合函数的定义和导数 定义 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 导数 函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 6．常用结论 (1)①注意′≠. ②(特殊化)当f(x)＝1，g(x)≠0时，＝，′＝－. (2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． (3)函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”． (4)区分在点处的切线与过点处的切线 ①在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条； ②过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 1．设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　 ) A．0 B．e C. D. 答案：D 2．(多选)下列导数的运算正确的是(　 ) A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x 答案：ABD 3．已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1,2)处的切线平行，则a＝(　 ) A．1 B．2 C．e D．2e 解析：选D　由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为k＝2e.由y＝aln x＋2，得y′＝，所以该曲线在点(1,2)处的切线斜率为k＝a.因为两切线平行，所以a＝2e. 4. 曲线y＝cos x－在点(0,1)处的切线方程为______________． 答案：x＋2y－2＝0 5．若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(1)x＋3，则f′(1)＝________. 答案：－2 基础点(一)　导数的运算　 [题点全训] 1．已知函数f(x)＝x2，则 ＝(　 ) A．－2 B．－ C. D．2 解析：选A　∵f′(x)＝2x，∴f′(1)＝2， ∴ ＝－ ＝－f′(1)＝－2. 2．(多选)下列结论中正确的是(　 ) A．若y＝cos，则y′＝sin B．若y＝ln，则y′＝ C．若y＝，则y′＝ D．若y＝x2 022＋log2x，则y′＝2 022x2 021＋ 解析：选ABD　对于A，y′＝－sin·′＝s