第3章 第3节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第三节　导数与函数的极值、最值 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3．函数极值与最值的区别与联系 极值 最值 区别 (1)极值是个“局部”概念，只能在定义域内部取得； (2)在指定区间上极值可能不止一个，也可能一个都没有 (1)最值是个“整体”概念，可以在区间的端点处取得；(2)最值最多有一个 联系 (1)极值有可能成为最值，最值只要不在区间端点处取得，必定是极值； (2)在区间[a，b]上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值，则这个极值就是最值 1．(多选)如果函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则以下关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　 ) A．在区间(2,4)内单调递减 B．在区间(2,3)内单调递增 C．x＝－3是极小值点 D．x＝4是极大值点 答案：BD 2．函数f(x)＝的极大值为(　 ) A．－e B. C．1 D．0 答案：B 3．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则实数a的值为(　 ) A．2 B. C．－2　　　 D．－ 解析：选B　由f′(x)＝＋2ax－3，得f′(2)＝0，解得a＝，经验证符合题意． 4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________. 解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，解得x＝±2. 计算f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8， f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，故M－m＝32. 答案：32 5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1＜2＜x2，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1＜2＜x2，所以f′(2)＝12－8a＋a2＜0，解得2＜a＜6. 答案：(2,6) 　　　　　　　　　　　　　　　　 基础点(一)　已知图象判断函数的极值、最值 [题点全训] 1.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是(　 ) A．f(x)在[－2，－1]上是增函数 B．当x＝3时，f(x)取得最小值 C．当x＝－1时，f(x)取得极小值 D．f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数 解析：选CD　根据图象知当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，故A错误，D正确；当x＝－1时，f(x)取得极小值，C正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，B错误． 2．(多选)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　 ) A．当x＝c时，f(x)取得极大值 B．当x＝d时，f(x)取得最小值 C．f(a)<f(b)<f(c) D．f(e)<f(d)<f(c) 解析：选ACD　结合导函数的图象可知，f(x)在(a，c)上单调递增，则f(a)<f(b)<f(c)，C正确；f(x)在(c，e)上单调递减，则f(e)<f(d)<f(c)，D正确；由于f(e)<f(d)，显然f(d)不是最小值，B错误；又f(x)在(a，c)上单调递增，(c，e)上单调递减，则当x＝c时，f(x)取得极大值，A正确．故选A、C、D. [一“点”就过] 导函数图象的应用策略 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，进而研究函数的极值、最值． 基础点(二)　求简单的函数极值、最值问题　 [题点全训] 1．函数f(x)＝x2－ln x的极值点为(