第3章 第2节 导数与函数的单调性（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第二节　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1．函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a，b)内可导，f′(x)是f(x)的导函数，则 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内是单调递增函数 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内是单调递减函数 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 3．充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． 1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　 ) A．先增后减 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：选D　∵当x∈(0，π)时，f′(x)＝－sin x－1＜0，∴f(x)在(0，π)上是减函数． 2．函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是(　 ) A. 　　　　 B. C. 　　　　 D.∪ 解析：选C　因为函数f(x)＝2x2－ln x，所以f′(x)＝4x－＝＝，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的单调递减区间是.故选C. 3.导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　 ) 解析：选D　由题图可知当x＞0时，f′(x)＞0，当x＜0时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，D选项符合． 4．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　 ) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D　因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.故选D. 5．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a的值为________． 解析：f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，即f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，则a＝(－1)×4＝－4. 答案：－4 基础点　不含参函数的单调性或单调区间 [题点全训] 1．(多选)下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　 ) A．y＝sin x B．y＝xex C．y＝x3＋x D．y＝ln x－x 解析：选BC　因为y＝sin x的单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z，故A不符题意；对于B，由y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，因为x∈(0，＋∞)，所以y′＝ex(1＋x)>0，所以函数y＝xex在(0，＋∞)内为增函数，故B符合题意；对于C，由y＝x3＋x，则y′＝3x2＋1>0，所以函数y＝x3＋x在(0，＋∞)内为增函数，故C符合题意；对于D，由y＝ln x－x，则y′＝－1＝，当0<x<1时，y′>0，当x>1时，y′<0，所以函数y＝ln x－x在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故D不符题意． 2．(2023·南岗期末)函数f(x)＝x2－9ln x的单调递减区间是(　 ) A．(0,3) B．(－∞，3) C．(3，＋∞) D．(－3,3) 解析：选A　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，令f′(x)<0，解得－3<x<3，又因为x>0，所以0<x<3，故函数f(x)的单调递减区间为(0,3)，故选A. 3．函数f(x)＝(x∈[e，＋∞))的单调递增区间为__________． 解析：f′(x)＝，令g(x)＝x－1－ln x， g′(x)＝1－，∵x∈[e，＋∞)， ∴1－>0，g′(x)>0，∴g(x)在x∈[e，＋∞)上是增函数，g(x)≥g(e)＝e－2>0，即f′(x)>0， ∴f(x)的单调递增区间为[e，＋∞)． 答案：[e，＋∞) 判断含参函数的单调性 [典例]　已知函数f(x)＝2