第3章 第4节 第1课时 技法先导—利用导数研究不等式问题的常用方法（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第四节　利用导数研究不等式问题 第1课时　技法先导—利用导数研究不等式问题的常用方法 方法一　构造函数法解决不等式问题 以抽象函数为背景，题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式，旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 类型1　构造y＝f(x)±g(x)型可导函数 [例1]　定义在R上的函数f(x)，满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(lg x)>的解集为__________． [解析]　由题意构造函数g(x)＝f(x)－x， 则g′(x)＝f′(x)－<0，所以g(x)在定义域内是减函数．因为f(1)＝1，所以g(1)＝f(1)－＝， 由f(lg x)>， 得f(lg x)－lg x>. 即g(lg x)＝f(lg x)－lg x>＝g(1)， 所以lg x<1，解得0<x<10. 所以原不等式的解集为(0,10)． [答案]　(0,10) [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)±g′(x)”时，不妨联想、逆用“f′(x)±g′(x)＝[f(x)±g(x)]′”．构造可导函数y＝f(x)±g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 类型2　构造f(x)·g(x)型可导函数 [例2]　(2023·淮安模拟)已知偶函数f(x)的定义域为R，导函数为f′(x)，若对任意x∈[0，＋∞)，都有2f(x)＋xf′(x)>0恒成立，则下列结论正确的是(　 ) A．f(0)<0 B．9f(－3)<f(1) C．4f(2)>f(－1) D．f(1)<f(2) [解析]　令x＝0，则2f(0)＋0>0，∴f(0)>0，故A错误；令g(x)＝x2f(x)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，当x>0时，由2f(x)＋xf′(x)>0，∴2xf(x)＋x2f′(x)>0，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又因为偶函数f(x)的定义域为R，∴g(x)＝x2f(x)为偶函数，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(－3)＝g(3)>g(1)，9f(－3)>f(1)，故B错误；∴g(2)>g(－1)，4f(2)>f(－1)，故C正确；由题意，不妨假设f(x)＝c>0(c为常数)符合题意，此时f(1)＝f(2)＝c，故D错误．故选C. [答案]　C [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝[f(x)g(x)]′”，构造可导函数y＝f(x)g(x)，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 类型3　构造型可导函数 [例3]　(2022·大连二模)下列不等式正确的是(　 ) A.> B.>ln 2 C．eln 10>10 D．2>6 [解析]　令f(x)＝，则f′(x)＝，则当0<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，f(x)单调递减；则f(x)max＝f(e)＝，对于A，＝＝，故A错误；对于B，f(3)>f(4)⇒>＝⇒>ln 2，故B正确；对于C，f(e)>f(10)⇒＝>⇒10>eln 10，故C错误；对于D，因为<e，故根据f(x)的单调性可知f(2)<f()⇒<⇒ln 2<2ln⇒ln 2<ln 6⇒2<6，故D错误．故选B. [答案]　B [方法技巧] 当题设条件中存在或通过变形出现特征式“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”时，可联想、逆用“＝′”，构造可导函数y＝，然后利用该函数的性质巧妙地解决问题．　　 [针对训练] 1．(2023·华大新高考联盟押题卷)已知实数a，b，c∈(0,1)，e为自然对数的底数，且ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2，则(　 ) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A　由ae2＝2ea，be3＝3eb,2c＝ecln 2得＝，＝，＝＝＝，构造函数f(x)＝(x>0)，求导得f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因为1<ln 4<2<3，所以f(ln 4)<f(2)<f(3)，所以f(c)<f(a)<f(b)，又因为a，b，c∈(0,1)，f(x)在(0,1)上单调递减，所以b<a<c.故选A. 2．(2022·沈阳三模)已知函数g(x)＝ex－ln x－m的图象恒在f(x)＝(em－1)x的图象的上方，则