第3章 第6节 “函数与导数”压轴考法的两大难点问题(习题课)（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第六节　“函数与导数”压轴考法的两大难点问题(习题课) 难点一　隐零点问题 在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法． [典例]　(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． [解题观摩]　(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)． 当a＝1时，f(x)＝ln(1＋x)＋，f(0)＝0， 所以切点为(0,0)，f′(x)＝＋，f′(0)＝2， 所以切线斜率为2，　 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. (2)f(x)＝ln(1＋x)＋， f′(x)＝＋＝， 设g(x)＝ex＋a(1－x2)， 若a>0①，当x∈(－1,0)， g(x)＝ex＋a(1－x2)>0，即f′(x)>0， 所以f(x)在(－1,0)上单调递增，f(x)<f(0)＝0， 故f(x)在(－1,0)上没有零点，不合题意； 若－1≤a≤0②，当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝1＋a≥0，即f′(x)>0，　 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)>f(0)＝0， 故f(x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意； 若a<－1③， (ⅰ)当x∈(0，＋∞)④， 则g′(x)＝ex－2ax>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0， 所以存在m∈(0,1)，使得g(m)＝0，即f′(m)＝0， 当x∈(0，m)，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(m，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x∈(0，m)，f(x)<f(0)＝0， 当x→＋∞，f(x)→＋∞， 所以f(x)在(m，＋∞)上有唯一零点， 又f(x)在(0，m)上没有零点，即f(x)在(0，＋∞)上有唯一零点． (ⅱ)当x∈(－1,0)⑤，g(x)＝ex＋a(1－x2)， 设h(x)＝g′(x)＝ex－2ax，h′(x)＝ex－2a>0， 所以g′(x)在(－1,0)上单调递增， g′(－1)＝＋2a<0，g′(0)＝1>0， 所以存在n∈(－1,0)，使得g′(n)＝0. 当x∈(－1，n)时， g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈(n,0)时，g′(x)>0， g(x)单调递增，g(x)<g(0)＝1＋a<0，又g(－1)＝>0， 所以存在t∈(－1，n)，使得g(t)＝0，即f′(t)＝0. 当x∈(－1，t)时，f(x)单调递增，当x∈(t,0)时，f(x)单调递减，当x→－1，f(x)→－∞， 而f(0)＝0，所以当x∈(t,0)时，f(x)>0， 所以f(x)在(－1，t)上有唯一零点，(t,0)上无零点， 即f(x)在(－1,0)上有唯一零点，所以a<－1，符合题意． 所以若f(x)在区间(－1,0)，(0，＋∞)各恰有一个零点， 则a的取值范围为(－∞，－1)． [思维建模] 隐零点模型是指函数的零点或方程的根(通常是令导函数值等于所得的方程一般为含有对数式、指数式、三角函数式等的超越方程)存在但不能直接解出来，但是又必须利用其根或零点解题的模型．解决此类题目的关键是： [针对训练] (2022·汕头三模)已知函数f(x)＝x－2sin x. (1)求f(x)在(0，π)的极值； (2)证明：函数g(x)＝ln x－f(x)在(0，π)有且只有两个零点． 解：(1)由f(x)＝x－2sin x得f′(x)＝1－2cos x，x∈(0，π)，令f′(x)＝0，得x＝. 当0<x<时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当<x<π时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以函数f(x)的极小值为f＝－，无极大值． (2)证明：g(x)＝ln x－f(x)＝ln x－x＋2sin x，x∈(0，π)，则g′(x)＝－1＋2cos x， 令φ(x)＝＋2cos x－1，则φ′(x)＝－－2sin x. 当x∈(0，π)时，φ′(x)＝－－2sin x<0，则φ(x)在(0，π)上单调递减． 因为φ＝>