第4章 第1节 任意角和弧度制、三角函数的概念（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第四章|三角函数与解三角形 第一节　任意角和弧度制、三角函数的概念 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义. 1．三角函数的基本概念 定义 分类 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 (1)按旋转方向分为正角、负角和零角； (2)按终边位置分为象限角和轴线角 终边 相同 的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z } 2.象限角 象限角 角的表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z } 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z} 3．弧度制 定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad 弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示，半径用r表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝°≈57.3° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形 面积公式 S＝lr＝|α|r2 4．任意角的三角函数 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即x＝cos_α 叫做α的正切函数，记作tan_α，即＝tan_α(x≠0) 定义的 推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么： sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0) 5．常用结论 (1)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 1．半径为2的圆中，有一条弧长是，则此弧所对的圆心角是(　 ) A．15° B．20° C．30° D．40° 答案：C 2．已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则sin α－cos α的值为(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选D　因为sin α＝＝－，cos α＝＝，所以sin α－cos α＝－－＝－. 3．已知α∈(0,2π)，sin α<0，cos α>0，则角α的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　因为sin α<0，cos α>0，所以α为第四象限角，故α∈，故选D. 4．角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在(　 ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析：选A　当k为偶数时，α的终边在第一象限；当k为奇数时，α的终边在第三象限，故选A. 5．若角－120°的终边上有一点(－3，a)，则实数a的值为________． 解析：由题意可得，tan(－120°)＝，又tan(－120°)＝－tan 120°＝－tan(180°－60°)＝tan 60°＝，∴a＝－3. 答案：－3 基础点(一)　角的概念与表示　 [题点全训] 1．(多选)下列与角－终边相同的角是(　 ) A. B. C. D．－ 解析：选BD　与角－终边相同的角的集合是，当k＝1时，α＝；当k＝－1时，α＝－. 2．已知下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90°的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60°；⑥若α＝5，则α是第四象限角．其中正确命题的个数是(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　对于①，钝角是大于90°且小于180°的角，显然钝角是第二象限角，故①正确；对于②，锐角是大于0°且小于90°的角，小于90°的角也可能是负角，故②错误；对于③，－359°显然是第一象限角，故③错误；对于④，135°是第二象限角，361°是第一象限角，但是135°＜361°，故④错误；对于⑤，时针转过的角是负角，故⑤错误；对于⑥，因为1 rad≈57.3°，所以5 rad≈5×57.3°＝286.5°，是第四象限角，故⑥正确．综上，①⑥正确． 3．设集合M＝，N＝，那么(　 ) A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅