第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（Word教参）-【创新方案】2024高考数学一轮复习（新教材 新高考）

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系 sin2α＋cos2α＝ 商数关系 tan α＝ 2．诱导公式 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin_α －sin α 正切 tan α tan α －tan_α －tan_α 记忆口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 3．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos αα≠＋kπ，k∈Z. (3)sin2α＝＝； cos2α＝＝. 1．sin 1 665°的值为(　 ) A．－ B. C．－ D. 答案：A 2．已知cos α＝－，且α为第三象限角，则sin α＝(　 ) A. B．－ C．－ D. 答案：C 3．已知tan α＝，α∈，则cos α的值是______． 解析：由tan α＝，可得＝，又sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＋cos2α＝1，解得cos2α＝，因为α∈，所以cos α＝－. 答案：－ 4．已知sin α＝，则＝________. 解析：原式＝＝sin α＝. 答案： 5．已知tan α＝3，则＝________. 解析：∵tan α＝3，∴＝＝＝2. 答案：2 基础点(一)　同角三角函数的基本关系 　 [题点全训] 1．若α为第三象限角，且sin α＝－，则cos α＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选D　由题意，cos α＝－＝－＝－，故选D. 2．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选D　因为α为第四象限角，故cos α＝＝ ＝，所以tan α＝＝＝－. 3．若tan α＝2，则5sin2α－3cos2α＋1的值为(　 ) A. B．4 C. D. 解析：选C　原式＝ ＝＝，故选C. 4．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　 ) A．sin θcos θ<0 B．sin θ－cos θ＝ C．cos θ＝ D．sin θ＝ 解析：选ABD　∵sin θ＋cos θ＝①，又sin2θ＋cos2θ＝1，对等式①两边取平方得1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－②，∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，由②得cos θ＜0，由①②得sin θ，cos θ 可以看作是一元二次方程x2－x－＝0 的两个根，解得sin θ＝ ，cos θ＝－ ，故选A、B、D. [一“点”就过] 知弦求弦 利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解 知弦求切 常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用 知切求弦 先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解 基础点(二)　诱导公式 　 [题点全训] 1．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　 ) A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x C．cos＝－sin x D．tan(x＋π)＝tan x 解析：选CD　∵sin(－x)＝－sin x，∴A不成立；∵sin＝－cos x，∴B不成立； ∵cos＝－sin x，∴C恒成立； ∵tan(x＋π)＝tan x，∴D恒成立．故选C、D. 2．设f(θ)＝，则f＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选B　∵f＝＝，又cos＝cos＝cos＝，∴f＝＝－. 3．sin(－1 200°)tan 1 290°＝________. 解析：原式＝－sin 1 200°tan 1 290°＝－sin(3×360°＋120°)·tan(3×360°＋210°)＝－sin 120°tan 210° ＝－sin(180°－60°)tan(180°＋30°)＝－sin 60°tan 30° ＝－×＝－. 答案：－ [一“点”就过] 1．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍