第七章 平行线的证明 专题练习十三 平行线中常用辅助线的添加方法和技巧（作业课件）-【四清导航】2022-2023学年八年级数学上册（北师大版）河南

四清导航 数学八年级上册北师版 第七章 平行线的证明 专题练习十三平行线中常用辅助线的添加方法和技巧 类型一遇拐点作已知平行线的平行线 1.如图，玲玲在美术课上用丝线绣成了一个“2”，且AB∥DE,∠A=30°，∠ ACE=110°，求∠E的度数. 解：过点C作CQ∥AB..'AB∥DE,.AB∥DE∥CQ,∴.∠E+∠ECQ=180° .又，∠A=30°，∴.∠QCA=∠A=30°.又.∠ACE=110°，∴.∠ECQ=∠ACE- ∠QCA=110°-30°=80°，∴.∠E=180°-∠ECQ=180°-80°=100° E B 2.如图，AB∥DE,则∠BCD,∠B,∠D之间有何关系？为什么？ 解：∠BCD=∠B一∠D,理由如下：过点C作CF∥AB,则CF∥AB∥DE, ∠B=∠BCF,∠D=∠DCF,∴.∠BCD=∠BCF-∠DCF=∠B-∠D A E C2------F 3.如图，已知AB∥CD,若∠A=40°，∠C=100°，∠AEF=80°，求∠F的 度数. 解：过点F作FG∥AB,过点E作EH∥AB,.AB∥CD,∴.EH∥FG∥AB∥CD, ..∠AEH=∠A=40°，.∴.∠EFG=∠FEH=∠AEF-∠AEH=80°-40°=40°， ∴.∠CFE=180°-∠C-∠EFG=180°-100°-40°=40° D B H 4.(新乡期末)问题情境 (1)如图①，己知AB∥CD,∠PBA=125°，∠PCD=155°，求∠BPC的度数. 佩佩同学的思路：过点P作PG∥AB,进而PG∥CD,由平行线的性质来求∠BPC,求 得∠BPC= 80 问题迁移 (2)图②，图③均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与 直尺的两边重合，∠ACB=90°，DF∥CG,AB与FD相交于点E,有一动点P在边 BC上运动，连接PE,PA,记∠PED=∠a,∠PAC=∠B. ①如图②，当点P在C,D两点之间运动时，请直接写出∠APE与∠a,∠B之 间的数量关系： ②如图③，当点P在B,D两点之间运动时，∠APE与∠a,∠B之间有何数量 关系？请判断并说明理由. 解：(2)①∠APE=∠a十∠B②∠APE=∠B一∠a;理由：过点P作PQ∥ DF..DF∥CG,.PQ∥CG,∴.∠B=∠QPA,∠a=∠QPE,.∠APE=∠ QPA-∠QPE=∠B-∠a B C 图① 图② 图③ 类型二连接两点或延长线段构造“截线” 5.如图，已知AB∥CD,∠B=∠C,求证：∠BEF=∠EFC. 证明：连接BC,.AB∥CD,.∠ABC=∠DCB.又，∠ABE=∠DCF,∴∠ ABC-∠ABE=∠DCB-∠DCF,.∴.∠CBE=∠BCF,..BE∥FC,..∠BEF=∠ EFC A B 6.小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板两边AB与CD 是否平行时，将直角尺（∠MFN=90°）如图放置：MF交AB于点E,NF交CD于点G, 测得∠1=140°，∠2=50°.小明马上用所学数学知识帮师傅进行了证明.请你写出 规范的证明过程. 证明：延长MF交CD于点H..∠1十∠FGH=180°，∠1=140°，..∠FGH= 40°，.∠CHF=180°-∠GFH-∠FGH=50°..∠2=50°，∴.∠CHF=∠2， ,.AB∥CD M E B 2 E B D 7.己知点D在∠ABC内，点E为边BC上一点，连接DE,CD (1)如图①，连接AE,若∠AED=∠A十∠D,求证：AB∥CD: (2)在(1)的结论下，若过点A的直线MA∥ED, ①如图②，当点E在线段BC上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量关系； ②如图③，当点E在线段BC的延长线上时，猜想并验证∠MAB与∠CDE的数量 关系 B B E B FC E 图① 图② 图③ 解：(1)证明：过点E作EF∥AB,则∠A=∠AEF.又，∠AED=∠A十∠D=∠ AEF+∠DEF,∴.∠D=∠DEF.∴.EF∥CD.∴AB∥CD (2)①∠MAB=∠CDE,证明：连接DA并延长至点F..'AB∥CD,MA∥ED, ∠BAF=∠CDF,∠MAF=∠EDF.∴.∠BAF-∠MAF=∠CDF-∠EDF,∴.∠ BAM=∠CDE ②∠CDE十∠MAB=180°，证明：延长MA交BC于点F..MA∥ED,.∠DEC =∠MFB.又，'AB∥CD,∴.∠B=∠DCE,.∠D=∠BAF.又∠BAF十∠MAB= 180°，∴.∠CDE+∠MAB=180° B 图 图G 图3