专题2.4 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题2.4 全等三角形经典模型一线三等角模型（四大类型） 【题型一：标准“K”型图】 【题型二：做辅助线构造“K”型图】 【题型三：“K”型图与平面直角坐标综合】 【题型四：特殊“K”型图】 【方法技巧】 模型一 一线三垂直全等模型 如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。 结论：Rt△BDC≌Rt△CEA 模型二 一线三等角全等模型 如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。 结论：△BEC≌△CDA 图一 图二 应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解 【类型一：标准“K”型图】 【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 【变式1-1】（2023春•城阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是 　　． 【变式1-2】（2022秋•南陵县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE ＝　　cm． 【变式1-3】（高阳县校级期中）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，则△ABC的面积是 　 　． 【变式1-4】（2023春•大竹县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE＝CE． （1）求证：△AEF≌△CEB； （2）若AF＝12，求CD的长． 【变式1-5】（2023春•紫金县期末）为了测量楼AB的高度，在旗杆CD与楼AB之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝17°，楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝73°，点P到楼底的距离BP与旗杆CD的高度均为8m，旗杆CD与楼AB之间的距离DB为33m，求楼AB的高度． 【变式1-6】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． （1）特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝，分别求出线段BD、CE和DE的长； （2）规律探究： （Ⅰ）如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°），请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （Ⅱ）如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°），与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC． 【类型二：做辅助线构造“K”型图】 【典例2】如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ABD为等腰三角形，AD＝AB＝BC，E为DB延长线上一点，∠BAD＝2∠CAE． （1）若∠CAE＝20°，求∠CBE的度数； （2）求证：∠BEC＝135°； （3）若AE＝a，BE＝b，CE＝c．则△ABC的面积为 　 　．（用含a，b，c的式子表示） 【变式2-1】（2022秋•香坊区期末）如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE＝EF，∠DEF＝60°，BE＝2，CE＝8，则DH＝　　． 【变式2-2】（2023春•平阴县期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． （1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为 　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　． （2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，DE＝10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】已知Rt△ABC和Rt△ADE，AB＝AC，AD＝AE．连接BD、CE