2023年复旦大学数学英才班选拔考试试题

2023年复旦大学数学英才班选拔考试试题 1. 设x=(x1,x2,x3,…,xn)是(1,2,3，·，n)的一个全排列(n≥2）)，设 S(x)=12十x23+工3江4+++n-1n 求S(x)的最小值及此时的z 2. 是否存在函数j:R→R,满足对x,y∈R,恒有 @+0≥（生）+-卵 证明你的结论， 3. 对正整数n,k,d,记m(d,k,n)为满足下列条件的(a1,,a)的组数： ①0≤a1≤a2≤…≤a≤k; ②a1+a2十…+ad=n 求证：m(d,k,n)=m(kd,n) 4. 求所有的点P,使得过点A(1,1),B(1,-1),C(-1,1),D(-1,-1)和P的圆锥曲线T唯 回答下列问题： (1)用sin18°表示cos36°： (2)求sin18°； (3)若给定长度为1，a的线段，简述尺规作图作出长为V√ā的线段的步骤； 来(4)简述尺规作图作出正五边形的步骤. 2023年复旦大学数学英才班选拔考试试题解答 解：对任意满足题目条件的x,我们构造x),x②)，·…如下： Step1:考虑数字n,若n在x的第一位，取x)=;若n不在x的第一位，而在第位，即 x=(1,E2,,g-1,几，工+1，…，工m) 定义x)的前个分量为把的前i个分量颠倒放置，后一个分量不变，即 x=(n,x4-1,…,2,工1，工+1，，zn 则 S)-S(z)=nz+1-x14+1=(n-z1)z+1>0 Step2:考虑数字m-1,若n-1在x1的第n位，取x②=x);若n-1不在x)的第n位， 而在第位（这里的跟Step1的不一样），即 z四=(m,,,xg,n-1,x鼎，…，x,9), 定义x2)的前i-1个分量不变，后m-1-个分量为把x的后-1-个分量颠倒放置，即 x四=(m,,…,xg,z,x巴，鼎，n-. 则 5(z)-5(z)=(n-1)z22 =(m-1-z9)xg>0, Stp3:考虑数字1，若1在红2的第2位，取x(3)=;若1不在x②的第2位，而在第位（这 里的跟Step2的不一样)，即 x四=(m,z,园，8,1x,…,x1,n-10. 定义x(3)的前个分量不变，后n-个分量为把x的后n一个分量颠倒放置，即 x=(m,1,xg,…,,2,1,…,,n-1功 则 S(x)-Sz倒)=(x9+1·x鼎)-(m1+z.得) =(m-8)2-)>0. 这样一直下去，最终可以构造出 x0=(饥，1，**…，南2，n-1, x⑤=(m,1,n-2,*,…,*2,n-1 x0=(m,1,n-2,3,,4,n-3,2,n-1, 并目满足 S(z)≥S(z1)≥S(x2)≥·≥Sz). 即对1,2，·，n}的任意置换E=(c1,·,x),都有 S(x)≥S(x). 所以，S(x)的最小值在z=x)取到 最小值：当n=2k为偶数时，最小值为 立+1-202+ei-a-=+8 当n=2k+1为奇数时，最小值为 玄a+1-司+空n1-0++=专++可 2. 答：不存在，如果存在这样的f,定义g(x)=f(x)一f0),则g(0)=0,并且 @@≥（）+- () 2 取y=0,则 9✉≥2g5)+2 ≥4g原+2号1+2 =4g(宁)+4a ≥…≥2”95)+2m 其中是任意的正整数x∈R.所以把上述x换成-x,相加可得 ga)+9-刘≥2r[9员)+g-票)+2m2 另一方面，在(*)中取则=一x,则 g(x)+g(-x)≥4x 把换为号，可得 京)+以≥ 所以 g(x)+g(-x)≥4x+2n·2x, 即对任意正整数肌，都有 gx)+g(-x)≥(4n+4)x 我们让x=1,可得 g(1)+g(-1)≥4n+4. 但是左边是有限的数，右边的正整数n可以是任意的，让n→∞即可得出矛盾. 3. 址明：足义集台Ad,k,n)为 {(a1,…,au)满足0≤a1≤a2≤…≤ad≤k且a1+a2+…+ad=n} 只需构造集合A(d,k,n)到集合A(k,d,n)的一映射 设(a1,·,aa)∈(d,k,n),把1作如下排列：第行有a:个1，得到一个包含很多1的数阵.例 如，(0,1,1,2,4)∈(5,5,8)就是如下排列： a1: a2:1 as:I a4:11 a5:1111 bs ba bs b2 b1 定义映射f:A(d,k,n)→A(k,d,n)如下：把f(a1,,ad)=(,·,b)定义为：b是上述数 阵中第k+1一列的k的个数. 我们来说明这样的定义是合理的： ①根据上述定义方式，b是a1,…,au中大于等于k+1一的正整数的个数，即 b:=card{ila≥k+1-} 于是0≤b1≤b2≤·≤bk.因为每一列最多只可能有d个1，因此bk≤d. ②根据上述定义方式，把这个数阵中的1按行去数和按列去数，得到的1的总数相同