2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题

2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题 2023年12月24日 2023年清华大学丘成桐数学英才班测试数学试题解答 1、 证明： 又不整除，因此 2、证明：任取一个，由于各不相同，因此至多存在一个，若对任意，。因此中至少有一个不与，相等。由插值公式，存在一个至多次的多项式满足。从而 ，矛盾。 3、证明：显然。设选出的最大的数组集合为，不妨设 （前个是1）。可以这么设是因为同时改变任意一个坐标的正负不影响结果，交换任意两个坐标也不影响结果。枚举已知中没有同时与和正交的向量，从而。 若，则中的向量线性相关，因此存在不全为0的，不妨设。则，矛盾。从而。再注意到，，两两相交，因此。 4、证明：，考虑 若，则 若，分两组情况讨论： （1） ，则 （2） 从而总成立 因此， 再取 综上，。 5、 证明： （1） ，则。当时，。又（有单调性），知结论成立。 （2） 证明同（1）. 6、 证明： （1） 比较基础，留作练习； （2） 由（1）的结论，存在一列单调递增无上界的正实数使得收敛。取一列单调递减收敛于1的正实数数列，我们归纳构造出合体的序列 学科网（北京）股份有限公司 $$