第2章 2.1 第2课时 圆的一般方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

#第2课时　圆的一般方程 学业标准 素养目标 1．正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学　 圆的一般方程 已知圆心(2，3)，半径为2. 　 写出圆的标准方程． [提示]　(x－2)2＋(y－3)2＝4. 　上述方程能否化为二元二次方程的形式？ [提示]　可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0. 　方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？ [提示]　配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆． 　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？ [提示]　不一定． ◎结论形成 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(__D2＋E2－4F＞0__)叫作圆的一般方程． 其中圆心为____，圆的半径为r＝____． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论 ①D2＋E2－4F＞0时表示__圆__． ②D2＋E2－4F＝0时表示点____． ③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．(　　) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系.(　　) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．(　　) (4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件．(　　) 答案　 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2，3)　　　　　　 B．(－2，3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 答案　D 3．(2022·苏州中学校考)若方程x2＋y2－2y－m＝0表示圆，则实数m的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案　D 4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则F＝________． 解析　由题意，得解得 答案　4 题型一　圆的一般方程的概念 　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径． [自主解答]　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4(1－5m)>0， 解得m<，故实数m的取值范围为. 圆心坐标为(－m，1)，半径为. [规律方法]　 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的两种判断方法： (1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆． (2)运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆． 提醒：在利用D2＋E2－4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数． [触类旁通] 1．(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________； (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 解析　(1)方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)， 可化为＋＝， 故圆心坐标为，半径为. (2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3， ∴该圆的面积为9π. 答案　(1)，　(2)9π 题型二　求圆的一般方程 　已知圆经过点(4，2)和(－2，－6)，该圆与坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程． [自主解答]　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). ∵圆经过点(4，2)和(－2，－6)， ∴ 设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故x1＋x2＝－D. 设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故y1＋y2＝－E. 由已知，得－D＋(－E )＝－2，即D＋E－2＝0.　③ 联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20. ∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. [素养聚焦] 本题通过考查学生利用待定系数法求圆的一般方程，培养学生逻辑推理和数学运算核心素养． [规律方法] 　 待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0). (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组． (3)解此方程组，