第2章 2.1 第1课时 圆的标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

# 　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 学业标准 素养目标 1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 1．通过对圆的标准方程的推导，提升逻辑推理的数学素养． 2．借助于圆的标准方程的求解与应用，提升直观想象和数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学　圆的标准方程 右图是一个公园内的摩天轮． 该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米． 　游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？ [提示]　一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径． 　若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？ [提示]　＝. 　以(1，2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？ [提示]　＝3. ◎结论形成 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点__的距离等于__定长__的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是__圆心__和__半径__，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是__(x－a)2＋(y－b)2＝r2__． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以__原点O__为圆心，半径为r的圆． 2．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在 圆外 d__＞__r (x0－a)2＋(y0－b)2__＞__r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2__＝__r2 点在 圆内 d__＜__r (x0－a)2＋(y0－b)2__＜__r2 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0).(　　) (4)圆心为，半径为的圆的方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　) A．(－2，3)，1　　　　　　 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)， D．(2，－3)， 解析　由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为. 答案　D 3．已知点A(1，0)，B(0，1)，圆C：x2＋(y＋1)2＝3，则(　　) A．A，B都在C内 B．A在C外，B在C内 C．A，B都在C外 D．A在C内，B在C处 解析　由题意，12＋(0＋1)2＜3，02＋(1＋1)2＞3，所以A在C内，B在C外． 答案　D 4．若圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，则过O(0，0)的弦中，最长弦长为______________，最短弦长为________． 解析　点(0，0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最大弦长为2r＝4.最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0，0)与圆的距离为1，所以最短弦长为2＝2. 答案　4　2 题型一　求圆的标准方程 　求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)； (3)求过两点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的标准方程． [自主解答]　(1)圆的半径长r＝＝， 故圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 解得b＝0或b＝－8，则圆心为(0，0)或(0，－8). 又∵半径r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)直线CD的斜率kCD＝＝1，线段CD中点E的坐标为(0，2)， 故线段CD的垂直平分线的方程为y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2， 即圆心为(2，0).由两点间的距离公式，得r＝＝. 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10. [规律方法] 确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法，一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷． [触类旁通] 1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为________． 解析　由圆的几何