第1章 1.3 两条直线的平行与垂直-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修1苏教版(教师用书)

#　两条直线的平行与垂直 学业标准 素养目标 1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．(重点) 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点) 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．(难点) 1．通过对两条直线平行与垂直充要条件的推导，提升直观想象、逻辑推理的数学素养． 2．通过利用两条直线平行与垂直条件解决问题，提升数学运算的数学素养． [教材梳理] 导学1　两条直线平行的判定 平面几何中，两条直线平行，同位角相等． 　在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？ [提示]　相等． 　若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？ [提示]　不一定，可能相等，也可能都不存在． 　若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？ [提示]　不一定，可能平行也可能重合． ◎结论形成 两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔__k1＝k2且b1≠b2__ l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 导学2　两条直线垂直的判定 已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2. 　 上述问题中，l1，l2的斜率是多少？ [提示]　k1＝，k2＝－. 　上述问题中两直线l1，l2的斜率有何关系？ [提示]　k1k2＝－1. 　若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？ [提示]　一定． ◎结论形成 两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔__k1k2＝－1__ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒__l1⊥l2__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等．(　　) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行．(　　) (3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直．(　　) (4)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．下列直线中，与直线l：y＝3x＋1垂直的是(　　) A．y＝－3x＋1　　　 B．y＝3x－1 C．y＝x－1 D．y＝－x－1 解析　因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为－. 答案　D 3．直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的位置关系是________. 解析　直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的斜率都为－3，在y轴上的截距分别为a，0.若a＝0，则两直线重合； 若a≠0，则两直线平行． 答案　平行或重合 4．过点(1，2)且与直线x＋y＋1＝0垂直的直线的方程是________． 答案　x－y＋1＝0 题型一　判断两条直线平行或垂直 　判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直． (1)l1：4x＋2y－1＝0和l2：2x－y－2＝0； (2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0； (3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0. [自主解答]　(1)因为4×(－1)－2×2≠0，所以l1，l2不平行． 又因为4×2＋2×(－1)≠0，所以l1，l2不垂直． (2)由题意知，＝≠，故l1∥l2. (3)由题意知，＝＝＝－，所以l1与l2重合． [规律方法] 1. 判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇒l1∥l2 ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1∶x＝x1，l2∶x＝x2，则x1≠x2⇒l1∥l2., (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不全为0），l2：A2x＋B2y＋C2＝0（A2，B2不全为0），由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2.判断两直线垂直的方法 方法一 方法二　若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0).则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.Ｋ [触类旁通] 1．直线l1：x－my＋6＝0和直线l2：mx＋y－1＝0(m∈R)的位置关系是(　　) A．相交且垂直　　　 B．平行 C．相交且不垂直 D．不确定 解析　当m＝0时，l1⊥l2； 当m≠0时，k1＝，k2＝－m，则k1k2＝－1，则l1⊥l2. 综上，知l1⊥l2，故选A. 答案　A 题型二　由平行或垂直关系求直线的方程一题多解 　(1) 已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程． [自主解答]　法一