第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版(改后)(教师用书)

# 一、不等式的性质 不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了． [题组训练] 1．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则> 解析　若a>0>b,0>c>d，则ac<bd，故A错误； 若ab>0，bc－ad>0，则>0，化简得－>0，故B正确； 若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确； 若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误． 答案　BC 2．(多选)对于实数a，b，c，下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则ac<bc B．若ac2<bc2，则a>b C．若a<b<0，则a2>ab>b2 D．若a>b，>，则a>0，b<0 解析　A项，若a>b，则ac<bc，当c≥0时不成立，排除； B项，若ac2<bc2，故c2>0，则a<b，不正确； C项，若a<b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0，ab－b2＝b(a－b)>0，∴a2>ab>b2，正确； D项，若a＞b，－＝＞0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0，正确． 答案　CD 二、基本不等式的应用 基本不等式：≤(a＞0，b＞0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 　已知a＞0，b＞0且＋＝1. (1)求ab的最小值； (2)求a＋b的最小值． [解析]　(1)因为a＞0，b＞0且＋＝1， 所以＋≥2＝2， 则2≤1，即ab≥8， 当且仅当即时取等号， 所以ab的最小值是8. (2)因为a＞0，b＞0且＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋ ≥3＋2 ＝3＋2， 当且仅当即时取等号， 所以a＋b的最小值是3＋2. 三、二次函数与一元二次不等式 解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系．如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论． 　解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)． [解析]　当a＝0时，不等式－2x＋4>0的解为x<2； 当a≠0时，不等式对应方程的根为x＝或x＝2， ①当a<0时，不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)，即(－ax＋2)(x－2)<0的解集为； ②当0<a<1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为； ③当a＝1时，不等式(x－2)2>0的解集为{x|x≠2}； ④当a>1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜2}； 当a<0时，不等式的解集为； 当0<a<1时，不等式的解集为x； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x≠2}； 当a>1时，不等式的解集为. [时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A．{－1,2}　　　　　 B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4} 解析　解法一　通过解不等式可得集合B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B＝{1,2}，故选B． 解法二　代入排除法．x＝－1代入集合B＝{x||x－1|≤1}，可得|x－1|＝|－1－1|＝2>1，不满足，排除A、D；x＝4代入集合B＝{x||x－1|≤1}，可得|x－1|＝|4－1|＝3>1，不满足，排除C，故选B． 答案　B 2．不等式14－5x－x2<0的解集为(　　) A．{x|－7<x<2} B．{x|x<－7或x>2} C．{x|x>2} D．{x|x<－7} 解析　原不等式等价于x2＋5x－14>0， 所以(x＋7)·(x－2)>0， 即x<－7或x>2，故选B． 答案　B 3．设x>0，那么3－－x有(　　) A．最大值1 B．最小值1 C．最大值5 D．最小值－5 解析　∵x>0， ∴3－－x＝3－≤3－2＝1， 当且仅当x＝即x＝1时，取等号． 答案　A 4．已知m＝8－n，m＞0，n＞0，则mn的最大值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析　∵m＝8－n，m＞0，n＞0， ∴8＝m＋n≥2，解得mn≤16， 当且仅当m＝n