第四章 教考衔接(2)——数学建模　构建函数模型解决实际问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第二册人教版B(教师用书)

空学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 …>教考衔接(2)—数学建模 构建函数模型解决实际间题 新教材新高考突出考查在真实情境中运用所学知识。分析问题、发现问题、提出问题， 解决问题的能力，重点培养数学建模核心素养 建模解决实际问题应过的三关： (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词句.确定已知条件 是什么，要解决的问题是什么：(2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用 数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型.将其转化成数学问题：(3)数理关： 建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法， 类型一构建二次函数、分段函数模型 典题某村利用当地优势引进经济效益好、养殖密度高的“活水围网”养鱼技术，研究 表明“活水围网”养鱼时.某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度W单位：千克/年) 是养殖密度x(单位：尾/立方米)的连续函数.当x不超过4尾/立方米时，V的值为2千克/ 年：当4<x≤20时，V是x的一次函数：当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，V的 值为0千克/年 (1)当0<X≤20时.求函数V关于x的函数解析式： (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出 最大值， [自主解答](1)由题意得当0<x≤4时.v=2.当4<x≤20时.设v=ax+b(a≠0). 显然=ax+b在(4,20]内是减函数， 由已知得20a+b=0.4a十b=2.解得a=-1f1852). 所以v=-18x+52. 故☒数V=2,0<x≤4,152)，4<x≤20.(x∈N) (2)设年生长量为x)千克/立方米 依题意.由(1)得 x)=2x.0<×≤4,152)x,4<×≤20.(x∈N) 当0<x≤4时，x)为增函数 故x)max=x)=4×2=8: 当4<x≤20时.fx)=-18x2+52x=-18(x2-20x)=-18(x-10)2+252 ∴.xmax=f10)=12.5. 所以当0<x≤20时.x)的最大值为12.5. 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/ 立方米。 ●思维升华 (1)构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，锊 文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限 ·独家授权侵权必究 带 亨学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 制。 (2实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构 成.如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解 [触类旁通] 1.小王大学毕业后.决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查。生产某小型电 子产品需投入年固定成本为3万元，每生产X万件，需另投入流动成本为Mx)万元，在年 产量不足8万件时，Mx)=13x2+X万元).在年产量不小干8万件时.MX)=6x+100x一38 (万元)每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完。 (1)写出年利润L(x)万元)关干年产量X(万件)的函数解析式：（注：年利润=年销售收入 一固定成本一流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解析(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元 依题意得，当0<X<8时. L(x)=5x-1a1s41a1co1(1f13)x2+x)-3=-13x2+4x-3: 当x≥8时，L(x)=5x-1als41a/小co1(6x+1f100x)-38)-3=35-1 a\vs4lal\co1(x+\f(100x)). 所以L(x)=-\f(13\rc\xm.X28. (2)当0<x<8时.L(x)=-13(x-6)2+9, 此时，当x=6时.L(x)取得最大值.为9万元 当x≥8时，L(x)=35-1a1s41al小co1(x+1f100x)s35-2100x)=35-20=15. 当且仅当X=100x时等号成立 即x=10时，L(x)取得最大值，为15万元. 因为9<15，所以当年产量为10万件时.小王在这一商品的生产中所获利润最大.最 大利润为15万元. 类型二构建指数函数、对数函数模型 典题医学上为研究传染病传播中含病毒细胞的发展规律及其预防措施.将含病毒的 细胞注入一只小白鼠体内进行实验。经检测，含病毒细胞的增长数与天数的关系如表.已知 该种含病毒的细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但注射某种药物.将 杀死其体内含病毒细胞的98%， 天数（天） 123456 7 含病毒细胞