第一章 教考衔接(1) 　对称及其应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册北师大版(教师用书)

享学科网书城圆 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 > 教考衔接(1）—对称及其应用 1.与直线有关的最值问题，首先根据所求式子的特征确定其几何意义，将问题转化为两 点间的距离，点到直线的距离等，并分析点与直线的位置关系，从而确定最值。 2.与直线有关的对称问趣题，主要有关于点的对称，或关于直线对称的问题. (1)点关于点对称 点Po,%关于点A(m,nm的对称点P(,y')可利用中点坐标公式求得，由m=O +x'2y0+y2): 得x'=2m-x0,y'=2n-y0.) (2)点关于直线对称 设点P(,)关于直线Ax十y十C=0的对称点为P(x',y'),则线段PP的中点在已知 直线上且直线PP与已知直线垂直. 即A·0十x'y0十y2A(y'-y0)一B(x'一x0)=0,解此方程组可得x',y,即 得点P的坐标. (3)直线关于点对称 直线Ax十y十C=0关于点P,y%)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊 点M,N关于点P的对称点，N'的坐标，则直线W的方程即所求的直线方程. (4)直线关于直线对称 ①若己知直线1，与己知对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线2上，然后求出直 线上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线2的方程： ②若已知直线1与己知对称轴平行，则直线1关于对称轴对称的直线2与直线1平行， 可以利用直线1，与对称轴间的距离等于直线与对称轴间的距离求解 一、中心对称与轴对称 典题己知直线1：y=3x+3,求： (1)点P(4,5)关于直线1的对称点的坐标： (2)直线y=x一2关于直线1的对称直线的方程： (3)直线1关于点A(3,2)的对称直线的方程. [解析(I)设点P关于直线1的对称点为P'',y'),则线段PP的中点在直线I上， 且直线PP垂直于直线I, 即f0y+5x'+42y′-5x'-4)×3=一1，解得x'=-2,y=7.) 点P的坐标为（一2,7） (2)解方程组y=3x十3，y=x一2，)得x=一5292)， ◆独家授权侵权必究· 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则点avs4 alcol(-f592)在所求直线上. 在直线y=x一2上任取一点M2,0), 设点M关于直线I的对称点为Mxa,yo), 则fy0x0+220x0一2)×3=-1，解得x0=-17595. 点avs4al小col(-f(1795)也在所求直线上。 由两点式得直线方程为92992=521752，化简得7x+y+22=0,即为所求直线方程. (3)在直线1上取两点E(0,3),F一1,0)，则E,F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6, 1),F(7,4) 因为点E,F在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为y-14一1=x-67一6，即3x一y-17=0 二、光的反射问题 典题一束光线从原点O0,0)出发，经过直线：8x十6y=25反射后通过点P(一4， 3),求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程. [解析们如图，设原点关于1的对称点A的坐标为（α，b), P-4.3) -A(a.b) 由直线OA与1垂直和线段AO的中点在1上得fbrc3)ab2)=25,解得a=4,b=3,) ∴.点A的坐标为4,3) ,反射光线的反向延长线过点A(4,3), 又由反射光线过P(一4,3)，A,P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y=3 联立y=3,+y=25,解得x=78y=3, 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y=3 avs4alcol(xsf(78)) 由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度AP, 由A(4,3),P(-4,3)知，4P1=4-(-4)=8, 即光线从O经直线1反射后到达P点所走过的路程为8 三、利用对称问题求最值 典题》在直线1：x-y-1=0上求两点P,2使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大： (2)0到A(4,1)与C3,0)的距离之和最小 ·独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店，知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 [解析](1)如图，设点B关于直线1的对称点B的坐标为(a,b),连接BB,则kB'· =-1,即b-4a×1=-1, --1=0 A 、B ,.a+b-4=0,① BB′的中点alvs4 alcol(f(ab+42)在直线1上， .a2-b+42-1=0,即a-b-6=0.② 由①②得a=5,b=一1，∴.点B的坐标为(5，-1) 于是AB所在直线的方程为y-1一1一1=x一45一4， 即2x+y-9=0 易知as4 alcol(PB]--PA)=aws4 alc