7.4 空间距离（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

7.4空间距离（精讲） 一．点到线的距离 1.概念：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离； 设＝，直线l的一个单位方向向量为，则向量在直线l上的投影向量＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝ 二．两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度. 三．点到平面的距离：已知平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此 四．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离； 五．两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 一．求点面距常见方法 方法一：作点到面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离 方法二：等体积法 方法三：向量法 二.向量法求两异面直线的距离 分别以这两条异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两条异面直线间的距离就是在方向上的正射影向量的模，设为d，从而由公式求解. 考点一 点线距 【例1-1】（2023春·江西南昌）如图，是棱长为的正方体，若在正方体内部且满足，则到的距离为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线的方程为，空间一点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·广东茂名·高三校考阶段练习）菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（   ）    A． B． C． D． 2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 考点二 线线距 【例2】（2023·全国·高三专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高三专题练习）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 考点三 点面距 【例3-1】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．    (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【例3-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）如图，在四面体中，．点为棱上的点，且，三棱锥的体积为．    (1)求点A到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【一隅三反】 1．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，面底面ABCD，E为AD的中点.    (1)求证：； (2)在线段BD上存在一点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为. ①确定点F的位置； ②求点C到平面PEF的距离. 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.      (1)证明：平面平面； (2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 考点四 面面距 【例4】（2023·全国·高三专题练习）在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为 A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求： (1)直线与平面的距离； (2)平面与平面的距离． 2．（2023·全国·高三专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，B