湖南省长沙市名校2024届高三上学期8月第一次质量检测数学试题

高三第一次质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是非零实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某社区为了丰富退休人员的业余文化生活，自2018年以来，始终坚持开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2018年以来近5年该社区退休人员的年人均借阅量的数据统计： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 年份代码 1 2 3 4 5 年人均借阅量（册） 16 22 28 （参考数据：）通过分析散点图特征后，年人均借阅量关于年份代码的回归分析模型为，则2023年的年人均借阅量约为（ ） A 31 B. 32 C. 33 D. 34 5. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则直线与间的距离最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，，，现将沿折起成，折起过程中，当时，四面体体积为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在三角形中，，，，在上投影向量为，则（ ） A. -12 B. -6 C. 12 D. 18 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项对合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为2 C. 函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为 D. 在上单调递减 10. (多选)已知点，是双曲线：的左、右焦点，是双曲线位于第一象限内一点，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 的面积为 B. 双曲线的离心率为 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若双曲线的焦距为，则双曲线的方程为 11. 若数列中任意连续三项，，，均满足，则称数列为跳跃数列.则下列结论正确的是（ ） A. 等比数列：1，，，，，…是跳跃数列 B. 数列通项公式为，数列是跳跃数列 C. 等差数列不可能是跳跃数列 D. 等比数列是跳跃数列的充要条件是该等比数列的公比 12. 已知函数的定义域为，函数的图象关于点对称，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的图象关于轴对称 C. 函数是最小正周期为2的周期函数 D. 若函数满足，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知，则________. 14. 已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为________. 15. 如图，圆柱的底面半径和母线长均为3，是底面直径，点在圆上且，点在母线上，，点是上底面的一个动点，且，则四面体的外接球的体积为________. 16. 已知是函数的两个不同极值点，若，则实数的值为________. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.） 17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 18. 在直三棱柱中，，，，延长至，使，连接，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 19. 已知数列的前项和为，且满足，，数列满足. （1）证明：是等比数列； （2）设，数列的前项和为，证明：. 20. 2023年游泳世锦赛于7月14日—30日在日本福冈进行，甲、乙两名10米跳台双人赛的选手，在备战世锦赛时挑战某高难度动作，每轮均挑战3次，每次挑战的结果只有成功和失败两种. （1）甲在每次挑战中，成