2.4.1 线段垂直平分线的性质和判定（课件PPT）-【学海风暴】2023-2024学年八年级上册初二数学(湘教版)

第2章 三角形 八年级数学湘教版·上册 2.4.1线段垂直平分线的性质和判定 授课人：XXXX 1 学习目标 1.探索线段垂直平分线的性质；(重点) 2.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.(难点) 新课导入 如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l 对称，问线段CD所在的直线l 与线段AA′有什么关系？ 我发现AD=A′D,l⊥AA ′ 新课导入 我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图. 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′. ● ● l A A′ D 2 1 (A) 新知探究 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 新知探究 如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 新知探究 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB. (A) (B) B A P l 如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P，连接PA,PB,线段PA，PB之间有什么关系？ 新知探究 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 新知探究 例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E， 交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长是多少？ 解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35cm－20cm＝15(cm). 新知探究 想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论. 新知探究 （1）当点P在线段AB上时， 因为PA=PB， 所以点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. 因为PA=PB， 所以△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， 从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. 因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 新知探究 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． 新知探究 例2 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明 ： ∵点O在线段AB的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理OB=OC. ∴ OA=OC. ∴ 点O在AC的垂直平分线上. 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 课堂小结 线段垂直平分线的性质和判定 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，见垂直平分线，得线段相等. 课堂小测 （1）如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　） A．AB垂直平分CD B ．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ ACB Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 1.选择题 （2）在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D 课堂小测 （2）下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段