课时作业（五十四）证明与存在性问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习课时分层突破（人教A版）

课时作业 课时作业（五十四） 证明与存在性问题 [A基础本科院校题] :3.如图所示，由部分抛物线y= m.x+1(m>0,x≥0)和半圆x2 1.已知动点P到直线l:x=4的距离是到点F(1, 十y2=r产(x≤0)所组成的曲 0)距离的2倍，记点P的轨迹为曲线C. 线称为“黄金抛物线C”,若“黄 (1)求曲线C的方程： 金抛物线C”经过点(3,2) (2)记曲线C与x轴交于A,B两点，Q(4,0),设 M是直线x=1上任意一点，直线MA,MB与曲 和(2》 线C的另一交点分别为D,E,求证：Q,D,E三点 (1)求“黄金抛物线C”的方程： 共线. (2)设P(0,1)和Q(0,一1)，过点P作直线1与 “黄金抛物线C”交于A,P,B三点，问是否存在 这样的直线1，使得QP平分∠AQB?若存在，求 出直线1的方程：若不存在，请说明理由. 2,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点G到 F1(一3,0)，F2(3,0)两点的距离之和为4. (1)试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨 迹方程C: (2)已知直线1：y=k(x-3)(k>0)与圆F2: 一B)2+y=交于M,N两点，与曲线C交 于P,Q两点，其中M,P在第一象限.d为原点O 到直线（的距离，是否存在实数，使得T= (NQ一IMP)·d2取得最大值，若存在，求出 k的值；若不存在，说明理由， ·393· 高考总复习·数学 [B一流学科院校题] [C清华北大院校题] 4.已知椭圆E:号十y=1的左，右焦点分别为， 5.(2022·新高考全国Ⅱ卷)已知双曲线C,号-芳 F2,过F2的直线1与椭圆E交于A,B两点，过 =1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方 F2作直线PF2与直线1垂直且与直线x=2交 程为y=土3x. 于P (1)求C的方程： (1)当直线1与x轴垂直时，求△ABF1内切圆半 (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, 径： B两点，点P(x1y1),Q(x2y2)在C上，且x1> (2)分别记PA,PF2,PB的斜率为k1,k2,k3,证 x2>0,y1>0.过P且斜率为一√3的直线与过Q 明：k1,kg,k成等差数列， 且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选 取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在AB上：②PQ∥AB:③|MA=|MB. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解 答计分. ·394·参考答案与详解 整理可得y=m一144 十2，当x=0 8m2一96m S=×6×1-=348-37. 故G的轨莲方程写+=1， 时，y=2. ,.当1=0时，S取得最大值，且S= (2)由题设可知，M,N一个在椭国外， 所以直线GH恒过定点(0,2) 123. 一个在椭圆内：P,Q一个在⊙F,内，一 B一流学科院校题 ②若∠APQ=∠BPQ,则直战PA,PB 个在⊙F:外，在虎线【上的四点满足： 4.解：(1)因为抛物线y=2pr过点P(1, 的斜率之和为0，设直线PA的针率为 INQI-IMPI=(INQI++INPI)- 2),所以2p=4,即p=2. 秉，则直线PB的针希为一k,直线PA的 (MP+NP)=PQI-MN= 故抛物线C的方程为y=4, 方程为y一3■k(x一2)， PQ-1, 由题意知，直线1的解率存在且不为0 y-3=(x-2》, 设直线1的方程为y=k十1(k≠0)， 由x 消去y, 南行+y=.消去y得：1+k) 由以1.得+(2-0+门 6+21 y=k(x-√3)， 得(3+4k)x2+8(3-2k)x十4(3 2一8√5k2x+12k2-4=0,△>0领 =0. 2k)2-48=0, 成立， 依题意△=(2k一4)2一4×k2×1>0,解 ·,+2-8k(2k-3) 授P(y),Q(为)，由根与系的 得k<0成0<k<1. 3+4k 又PA,PB与y轴相交，故直线I不过 将k换成一上可得 关系得出十= 83 1十4 点(1，一2).从而≠一3. 2,+2=-8k(-2h-3)-86(2k+3) 所以直线【的钟率的取值范圆是 3+4k 3+4k =12k2- (-∞，-3)U(-3,0)U(0,1), 1+长 (2)证明：设A(x1,当).B(3% .x1十x= 16k-12 3+4k PQ=/(1+k)[(x1+x)-4x1x] 由(1)知x1十2= 2k-4 1 一48k 一西3+ =462+4 4k2十1 直线PA的方程为y-2=出一2 k=斗二丛 所以INQ一1MP|=1PQ-1 3 TI 1) 令x=0,得点M的纵坐标为yu■ -x-2)+3+k(x-2)-3 严k+1 y+2+2=红++2. O到1距离d=- 31k1 k(+Te)-4k1 V+1 x,-1 1-1 =2 问理得