1.3 证明（讲+练，八大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（浙教版）

1.3 证明 学习目标：1．了解证明的含义。 2．体验、理解证明的必要性。 3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。 重点：能证明的含义和表述格式. 难点：能按规定格式表述证明的过程. 知识点一 证明 要判定一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论),一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫做证明(proof). 即学即练1 已知：如图，，．求证：BD平分． 即学即练2 已知：如图，，EP，FP分别平分．求证：． 知识点二 三角形的外角 1.三角形外角的定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.如图所示，∠ACD是△ABC的一个外角。 (1)三角形的外角和与它相邻的内角互为邻补角. (2)三角形的每一个顶点处都有且只有两个外角，这两个外角是对顶角， 一个三角形共有六个外角， 一个三角形的内角的对顶角不是这个三角形的外角. 2.外角的性质(三角形内角和定理的推论) （1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. (2)三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与 它不相邻的内角. 3.三角形的外角和定理 在三角形的每个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫 做三角形的外角和.三角形的外角和为360°. 即学即练1 证明命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于”是真命题． 即学即练 2 （1）求证：三角形三个内角的和等于180°．   （2）阅读材料并回答问题：   如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD．像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的“外角”，在每个顶点处取这个三角形的一个外角，它们的和叫做这个三角形的“外角和”．补全图形并求△ABC的“外角和”． 知识点三 证明格式 证明几何命题时,表述格式一般是: (1) 按题意画出图形 (2) 分清命题的条件和结论,结合图形,在已知”中写出条件,在“求证”中写出结论 (3) 在“证明”中写出推理过程 注意：证明过程中的每一步推理都要有依据,依据作为推理的理由，可以写在每一步后的括号内. 即学即练 已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：． 证明：∵、是的两条高线（　　）， （　　） （　　）， ． ． 知识点四 添加辅助线 在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写入证明中.辅助线通常画成虚线. 即学即练 阅读下面材料： 小亮同学遇到这样一个问题： 如图1，，为，之间一点，连接，，得到．    求证：． (1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整： 证明：过点作 ___________（___________） ______________________（___________） ___________ ； (2)请你参考小亮的方法，解决下列问题： ①如图2，，为，之间一点，连接，，得到．    求证：； ②如图3，，则，，之间的数量关系是___________．    题型一 写出命题的题设与结论 例1将命题“互补的角是邻补角”改写成“如果 ，那么 ”． 举一反三1 命题“对顶角相等”的题设是 ，结论是 ． 举一反三2 如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果， 那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      题型二 代数问题证明 例2 下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 举一反三1 命题“当n是整数时，两个连续整数的平方差等于这两个连续整数的和”正确吗？试着用你学过的知识说明理由. 举一反三2 下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 题型三 写出一个命题的已知、求证及证明过程 例3 57．完成下面的证明过程． 已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD． 证明：∵∠1和∠D互余(已知)， ∴∠1＋∠D＝90°(_____________)． ∵∠C和∠D互余(已知)， 　　∴∠C＋∠D＝90°(_____________)， ∴∠1＝∠C(__________________)， ∴AB∥CD(________________________)． 举一反三1 试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（