第08讲 椭圆及其性质-2023-2024学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册、选择性必修第二册）

第08讲 椭圆及其性质 【人教A版2019】 ·模块一 椭圆的定义和标准方程 ·模块二 椭圆的几何性质 ·模块三 课后作业 模块一 椭圆的定义和标准方程 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【考点1 曲线方程与椭圆】 【例1.1】（2023春·四川遂宁·高二校考期中）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023春·江西景德镇·高一校考期中）方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（    ） A．且 B． C． D． 【变式1.1】（2023春·广东·高二统考阶段练习）设，方程所表示的曲线是（    ） A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【考点2 椭圆的定义】 【例2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【例2.2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式2.1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【考点3 椭圆方程的求解】 【例3.1】（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·高二课时练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（    ） A． B．或 C． D．以上都不对 【考点4 椭圆中的焦点三角形问题】 【例4.1】（2023秋·内蒙古乌兰察布·高二校考期末）椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【例4.2】（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【变式4.1】（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于A，两点，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2023春·四川德阳·高二校考阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（    ） A． B． C． D． 模块二 椭圆的几何性质 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>