第09讲 双曲线及其性质（秋季讲义）-2024-2025学年高二数学秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一、二册）

第09讲 双曲线及其性质 【人教A版2019】 模块一 双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 4．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为. 【题型1 双曲线的定义及其应用】 【例1.1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【解题思路】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解. 【解答过程】， 当点在左支时，的最小值为， 当点在右支时，的最小值为， 因为，则点在双曲线的左支上， 由双曲线的定义，解得； 当，点在左支时，；在右支时，；推不出； 故为充分不必要条件， 故选：D. 【例1.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【解题思路】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【解答过程】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A. 【变式1.1】（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】借助双曲线定义计算即可得. 【解答过程】由双曲线定义可知：， 则三角形的周长为， 故. 故选：D. 【变式1.2】（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线定义并结合点是的左支上一点可得结果. 【解答过程】根据双曲线标准方程可知， 由双曲线定义可得， 又为左焦点，点是的左支上一点，所以， 可得. 故选：B. 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2.1】（23-24高三下·上海普陀·阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答过程】解：可整理成， 当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立， 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先根据题意对方程变形，然后列出关于的不等式组，可求得答案. 【解答过程】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用双曲线方程，求解的范围，然后根据集合关系，推出选项． 【解答过程】如果方程表示双曲线，则，解得：， 则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含． 只有选项C满足题意． 故选：C． 【变式2.2】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据方程表示双曲线求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若方程表示双曲线，则，解得， 所以由推不出方程表示双曲线，故充分性不成立， 由方程表示双曲线推得出，故必要性成立， 所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·河北衡水·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，半焦距为c.若双曲线上存在点A使得，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的定义及，求得，再由，利用勾股定理，求得，进而由，即可求得双曲线的标准方程，得到答案. 【解答过程】由题意，根据双曲线的定义及， 可得，解得， 因为，所以，即，即， 又，则，所以双曲线的方程为. 故选：A. 【例3.2】（23-24高二上·天津河西·期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意列式求解，即可得结果. 【解答过程】∵双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，且， 由题意可得，解得， ∴双曲线的方程为. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案. 【解答过程】由题意可设双曲线标准方程为，焦距为2c， 则由双曲线的左､右焦点分别为，可知， 由，知，故， 故双曲线的标准方程为， 故选：A. 【变式3.2】（2024·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】求出，利用题干条件得到，，由双曲线定义得到方程，求出，进而得到，，求出双曲线方程. 【解答过程】设双曲线C的半焦距为．由题可知，即． 因为的中点为Q，为等边三角形， 所以，所以，， 故，所以，， 所以，所以，所以，． 所以双曲线C的方程为． 故选：A. 【题型4 双曲线的轨迹方程】 【例4.1】（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【解题思路】根据双曲线的定义进行求解即可. 【解答过程】设炮弹爆炸点为， 由题意可知：， 显然点的轨迹是以A，B的焦点的双曲线，因此有， 可得：，于是有， 根据四个选项可知，只有选项D符合， 故选：D. 【例4.2】（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得. 【解答过程】圆 ，即，圆心为，半径， 设动圆的半径为， 若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 若动圆与圆相外切，所以，， 所以， 所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、， 所以， 所以动圆圆心的轨迹方程是， 综上可得动圆圆心的轨迹方程是. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【解答过程】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 【变式4.2】（23-24高二上·湖南怀化·期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可设设，则，由三角形面积公式求解即可 【解答过程】因为直线和互相垂直， 所以， 又， 所以点在一，四象限或者二，三象限， 设， 因为为的中点， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 【题型5 双曲线中焦点三角形问题】 【例5.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　） A．12 B．24 C． D． 【解题思路】利用条件及双曲线的定义求出，进而可得为直角三角形，然后直接求面积即可. 【解答过程】由双曲线得， 又，且， 得到， 所以， 即为直角三角形， 所以. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ） A．28 B．36 C．44 D．48 【解题思路】根据双曲线的定义求解即可. 【解答过程】如图所示： ∵双曲线的左焦点为， ∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴． ∵①，②， ∴①+②得， ∴的周长． 故选：C. 【变式5.1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】由双曲线定义和余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案. 【解答过程】由题意得， 由双曲线定义可得，，， 由余弦定理得， 即，解得， 又，解得， 故.      故选：C. 【变式5.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设双曲线的左焦点为，则，则由题意可得的周长为，当，，三点共线时，最小，从而可得答案 【解答过程】设双曲线的左焦点为，则．由题可知，， ∴，，， ∴，的周长为． ∵当，，三点共线时，最小，最小值为， ∴的周长的最小值为． 故选：A. 模块二 双曲线的几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例6.1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可. 【解答过程】由题意双曲线的焦点在轴上，则，， 又，则，故C的标准方程为. 故选：C. 【例6.2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由顶点位置可假设双曲线方程，结合顶点坐标和渐近线方程可求得，由此可得结果. 【解答过程】双曲线顶点在轴上，可设其方程为， 顶点坐标为，渐近线方程为，即， ，解得：，双曲线方程为：. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意根据点到直线的距离公式、离心率公式和平方关系即可求出，由此即可得解. 【解答过程】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离，因为， 联立解得， ∴双曲线方程为：. 故选：B. 【变式6.2】（23-24高三下·全国·阶段练习）过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意得到A点坐标与渐近线方程，写出直线方程，与双曲线另一渐近线方程联立，求得坐标，代入三角形面积公式求解，则答案可求． 【解答过程】由题意可知双曲线的右顶点为，双曲线的渐近线方程为， 则过A与平行的直线方程为， 联立，解得，即， 则， 又，，解得． 双曲线. 故选：A． 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例7.1】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求点到双曲线的渐近线的距离，由条件列方程，化简可求离心率. 【解答过程】设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在渐近线上，则， 所以，因为，所以，所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 【例7.2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长，再根据不等式整理可得，即可求得双曲线的离心率的取值范围. 【解答过程】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，所以， 因为，所以，可得， 即，可得， 所以，所以， 又，所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设点，利用点到直线的距离公式，结合点在上即可求解. 【解答过程】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以． 故选：B． 【变式7.2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【解题思路】首先求出，再结合题干中的条件可知，通过解不等式可得的取值范围，结合双曲线的离心率公式可得答案. 【解答过程】由题意得，渐近线, 将代入得坐标为,所以, 因为轴，所以, 由已知可得, 两边同时除以得, 所以，即， 解得,所以， 而双曲线的离心率， 故选：A. 【题型8 双曲线的几何性质问题】 【例8.1】（23-24高二下·广东·期中）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的关系求，即可得其渐近线方程. 【解答过程】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 【例8.2】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】求出渐近线方程，根据垂直关系得到，将代入双曲线方程，进而求出，求出实轴长. 【解答过程】由双曲线可得渐近线方程为， 由题意可得，将代入的方程得， 解得， 所以的实轴长为． 故选：D． 【变式8.1】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为．若，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【解题思路】根据离心率的值可求得渐近线的斜率，由为的中位线，可得，在直角中可求，焦点到渐近线的距离即为. 【解答过程】因为离心率为，所以，所以， 由，所以，所以双曲线的渐近线方程为， 如图不妨设和关于对称，则图中为的中点，且， 所以， 因为为的中点，所以， 在直角中，， 点到渐近线的距离为， 所以. 故选：A. 【变式8.2】（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的性质并利用点到直线距离公式可得，，可得渐近线方程. 【解答过程】依题意可得，即； 不妨取左焦点到渐近线的距离为，即， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9.1】（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【解题思路】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【解答过程】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【例9.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【解题思路】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【解答过程】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 【变式9.1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值． 【解答过程】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 【变式9.2】（23-24高二·全国·课后作业）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【解题思路】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可. 【解答过程】因为双曲线方程为，故，则其焦点为， 根据题意，作图如下： 则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； ，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号； 则， 故可得， 故的最大值为：. 故选：B. 【题型10 椭圆与双曲线综合】 【例10.1】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为，由题意可得出、关于、的关系式，由此可得出双曲线的标准方程. 【解答过程】因为椭圆的焦点在轴上， 由题意可知，所求双曲线的焦点在轴，设所求双曲线的标准方程为， 因为所求双曲线的顶点为椭圆的焦点，则， 而双曲线的焦点在轴上，且双曲线的焦点为椭圆的顶点， 则，可得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 故选：C. 【例10.2】（2024·江苏·模拟预测）已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据椭圆和双曲线的定义，余弦定理可以得到，利用离心率的定义化简条件，可得，故可得，解此方程即可求出结果． 【解答过程】不妨设椭圆的方程为：， 双曲线方程为， 因为，为椭圆与双曲线公共的焦点， 所以； 由椭圆的定义知：， 两边平方得：， 中，设，由余弦定理得： ， 所以，即； 由双曲线的定义知：， 两边平方得：， 在中，由余弦定理得：， 所以，即； 所以，即； 因为，所以，即， 所以，所以，解得， 由于，所以． 故选：C． 【变式10.1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，即可利用余弦定理求解. 【解答过程】如图：在双曲线中，且焦点在轴上， 椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为， 故椭圆中，故， ，， ，， ， 由余弦定理可得 ． 故选：C. 【变式10.2】（23-24高二上·山东日照·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值. 【解答过程】设为第一象限的交点，、， 则、，解得、， 在中，由余弦定理得：， ∴，∴， ∴，∴，∴， ， 即，当且仅当，即，时等号成立， 此时 故选：D. 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【解题思路】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【解答过程】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 2．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据双曲线的定义可得答案. 【解答过程】，由， 结合双曲线定义可知动点的轨迹为以，为焦点的双曲线右支， 在双曲线中，，可得，， 所以， 动点的轨迹方程为. 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知焦点为，结合离心率列式可得，即可得方程. 【解答过程】由双曲线可知，且焦点在x轴上，则焦点为， 设椭圆的方程是， 则，解得， 所以椭圆的方程是. 故选：C. 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】设双曲线的右焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理即可求解． 【解答过程】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：， 设F关于的对称点为， 由题意可得，解得， 又点M在双曲线上，则， 整理得：，得离心率， 故选：D. 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 【解题思路】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案. 【解答过程】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系. 水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中. 又由题可得，代入双曲线方程可得： ，则D. 将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D. 又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米. 故选：D. 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出直线和直线的方程，分别令，可求出，结合代入化简即可得出答案. 【解答过程】由题意知，因为轴， 所以令，可得，解得：，设， 直线的斜率为：， 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 直线的斜率为： 所以直线的方程为：， 令可得，所以， 由可得，解得：, 所以，解得：，即 所以的渐近线方程为， 故选：C. 7．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【解题思路】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【解答过程】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 8．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【解题思路】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【解答过程】由题意知，， 所以 ， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高二·江苏·假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 【解题思路】由双曲线的定义可知，可求的值. 【解答过程】由双曲线的定义可知，即， 所以或． 故选：BC． 10．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（    ） A．不存在，使得曲线表示圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．存在实数使得曲线为等轴双曲线 【解题思路】结合圆、双曲线、椭圆即等轴双曲线的方程的性质逐项计算即可得. 【解答过程】对A：令，解得，此时：，此时曲线表示圆，故A错误； 对B：若曲线为双曲线，则，解得或，故B错误； 对C：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对D：若曲线为等轴双曲线，则有，此时无解，故不存在实数使得曲线为等轴双曲线，故D错误. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 【解题思路】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D. 【解答过程】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【解题思路】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程. 【解答过程】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 13．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 3 . 【解题思路】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【解答过程】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 14．（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为 .    【解题思路】延长与双曲线交于另一点，连接.因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形，则，根据双曲线的定义及余弦定理建立等量关系求解即可. 【解答过程】延长与双曲线交于另一点，连接.    因为，所以根据对称性可得四边形是平行四边形， 则. 设，则. 根据双曲线的定义可得，则， 所以. 在中，根据余弦定理可得，得. 在中，由，得, 则双曲线的离心率为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 【解题思路】（1）设双曲线的方程为或，然后根据已知条件来求得正确答案. （2）双曲线的方程为，然后根据已知条件来求得正确答案. 【解答过程】（1）方法一 根据题意，设所求双曲线的标准方程为， ，即．① 双曲线经过点， ．② 由①②得，， 双曲线的标准方程为． 方法二 设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为，． 点，在双曲线上， 解得 双曲线的标准方程为． 16．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，，圆与双曲线在第一象限的交点为，记直线，的斜率分别为，，且，求双曲线的离心率． 【解题思路】由圆和双曲线的方程易得，推得，，运用到角公式和题设条件可得，再由双曲线的第三定义推导得出，化简即得． 【解答过程】如图，由题意知，则， 由图知，， 由两直线的夹角公式得即， 将代入解得：． 因，设， 则直线，的斜率分别为： 因故有， 由 ， 故，则． 17．（24-25高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 【解题思路】（1）根据方程表示双曲线，以及由焦点位置得到参数满足的条件，从而得出答案. （2）分焦点位置进行讨论可得答案. 【解答过程】（1）①若方程表示双曲线，则须满足或， 解得或． ②若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得； ③若方程表示焦点在轴上的双曲线，则须满足， 解得． （2）若焦点在轴上， 则方程可化为，     ，即． 若焦点在轴上， 则方程可化为， ，即． 综上，的值为或． 18．（23-24高二·全国·课后作业）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 【解题思路】（1）设观察员可能出现的位置为点,由题意可知,即可判断出观察员所有可能出现的位置为双曲线的左支.结合，，即可求出其轨迹； （2）设轨迹上一点为，利用两点的距离公式则可表示出，再结合点在轨迹上，消元后利用二次函数的单调性，即可得出的最小值.即可写出答案. 【解答过程】（1）设观察员可能出现的位置为点， 由题意，得 ， 故点的轨迹为双曲线的左支， 设双曲线方程为，又，， 所以， 故点的轨迹方程为； （2）设轨迹上一点为，则， 又，所以， 所以| ， 当且仅当时，取得最小值， 故扫描半径r至少是． 19．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 【解题思路】（1）根据题意，由化简求解； （2）过点作垂直于直线 ，垂足为，设，得到，然后由求解. 【解答过程】（1）解：由题意得：， 化简得：. （2）如图所示： 过点作垂直于直线 ，垂足为， 设，则，即， 所以， 显然，当三点共线时，取得最小值， 为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 双曲线及其性质 【人教A版2019】 模块一 双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫 作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 双曲线在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．双曲线方程的求解 (1)用定义法求双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程. (2)用待定系数法求双曲线的标准方程 用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解. 4．双曲线的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设P是双曲线上一点，,为双曲线的焦点，当点P,,不在同一条直线上时，它们构成一个焦 点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用结论 若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，,分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为. 【题型1 双曲线的定义及其应用】 【例1.1】（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【例1.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【变式1.1】（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 曲线方程与双曲线】 【例2.1】（23-24高三下·上海普陀·阶段练习）对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2.2】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型3 双曲线的标准方程的求解】 【例3.1】（23-24高二上·河北衡水·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，，半焦距为c.若双曲线上存在点A使得，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·天津河西·期末）设中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的焦距为16，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离的差的绝对值等于6，双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高三上·北京通州·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2024·河南安阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P为C上一点，的中点为Q，为等边三角形，则双曲线C的方程为（    ）． A． B． C． D． 【题型4 双曲线的轨迹方程】 【例4.1】（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（    ）的方程上. A． B． C．或 D． 【例4.2】（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高二上·湖南怀化·期中）直线和上各有一点（其中点的纵坐标分别为且满足），的面积为4，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 双曲线中焦点三角形问题】 【例5.1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（　　） A．12 B．24 C． D． 【例5.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（    ） A．28 B．36 C．44 D．48 【变式5.1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【变式5.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 模块二 双曲线的几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1(-a,0),A2 (a,0) A1(0,-a),A2 (0,a) 半轴长 实半轴长为a,虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的离心率 (1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. (2)双曲线离心率的范围：e>1. (3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大. (4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 3．求双曲线离心率或其取值范围的方法 (1)直接求出a, c的值，利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a, b, c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式) 求解. 【题型6 利用双曲线的几何性质求标准方程】 【例6.1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线的一条渐近线斜率为，实轴长为4，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【例6.2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为，且渐近线方程为，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（23-24高三下·全国·阶段练习）过双曲线的右顶点A作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P，的面积为（O为坐标原点），离心率为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 求双曲线的离心率或其取值范围】 【例7.1】（24-25高三上·河北·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为. 若（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【例7.2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D．[ ，2] 【题型8 双曲线的几何性质问题】 【例8.1】（23-24高二下·广东·期中）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，且在上，则的实轴长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8.1】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线：的离心率为，左，右焦点分别为，，关于的一条渐近线的对称点为．若，则（    ） A．4 B． C．2 D．1 【变式8.2】（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线()的实轴长为，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型9 双曲线中的最值问题】 【例9.1】（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【例9.2】（23-24高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式9.1】（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式9.2】（23-24高二·全国·课后作业）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 【题型10 椭圆与双曲线综合】 【例10.1】（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例10.2】（2024·江苏·模拟预测）已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式10.1】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10.2】（23-24高二上·山东日照·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 2．（23-24高二上·云南迪庆·期末）已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5米，则水面宽为（    ） A．米 B．米 C．米 D．30米 6．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线：（，）的右焦点为，左、右顶点分别为，，点在上且轴，直线，与轴分别交于点，，若（为坐标原点），则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 二、多选题 9．（23-24高二·江苏·假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 10．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（    ） A．不存在，使得曲线表示圆 B．若曲线为双曲线，则 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．存在实数使得曲线为等轴双曲线 11．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 13．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 14．（24-25高三上·云南大理·开学考试）如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，分别为双曲线的左支、右支上异于顶点的点，且.若，则双曲线的离心率为 .    四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与双曲线有相同的焦点，且经过点； (2)过点，且焦点在坐标轴上． 16．（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，，圆与双曲线在第一象限的交点为，记直线，的斜率分别为，，且，求双曲线的离心率． 17．（24-25高二上·全国·课堂例题）求适合下列条件的参数的值或范围： (1)已知，当为何值时， ①方程表示双曲线；②表示焦点在轴上的双曲线；③表示焦点在轴上的双曲线； (2)已知双曲线方程为，焦距为6，求的值． 18．（23-24高二·全国·课后作业）如图，某野生保护区监测中心设置在点O处，正西、正东、正北处有3个监测点A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，3个监测点均收到求救信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早（注：信号每秒传播） (1)求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)若C点信号失灵，现立即以C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少千米？ 19．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若动点M在y轴右侧，定点,求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$