1.4&1.5 充分条件与必要条件、全称量词和存在量词（讲+练）-【高分突破系列】2023-2024学年高一数学同步知识点剖析精品讲义与分层练习（人教A版2019必修第一册）

1.4 充分条件与必要条件 1.5 全称量词和存在量词 1充分条件与必要条件 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. Eg：帅哥是男人的______条件. 从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分； 从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 备注 若，则称为小范围，为大范围. Eg1：帅哥是男人的______条件. 设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件. Eg2：是的不充分必要条件，因为. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 2 全称量词与存在量词 ① 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. ② 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. ③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. Eg：的否定是. 是真命题，是假命题. 【题型一】 充分条件与必要条件 【典题1】 是的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】得由 得.故选. 【典题2】 若是正整数，则充要条件是(　　) 有一个为 且 【解析】， ， 是正整数，，， 则，，， 若，则， 即或，即有一个为， 即充要条件是有一个为，故选． 【点拨】 2 本题求充要条件就相当于“当是正整数，由可以等价推导出什么结论”； ② 是充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析. 【典题３】 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【解析】由得或，即不等式的解集为， 由得， 若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为， 若，则不等式的解集为， 若，不等式的解集为， (求解含参的不等式，注意分类讨论) 若是的必要不充分条件，则， (从集合的角度去思考充分必要条件问题) 则当时，不满足条件． 当时，则满足，即，得， 当时，则满足，得，得． 综上实数的取值范围或. 【点拨】 ① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根的大小比较，才有了 的分类； ② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”. 巩固练习 1 (★) 设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】 由，解得或，故“”是“”的充分不必要条件， 故选：． 2 (★) 设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】 ，， ，， 推不出， ， 是的必要不充分条件， 即是的必要不充分条件． 故选：． 3 (★) “”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】 若成立，则，即，即， 由可得，但不一定得到，相反由也不一定能得出， “”是“”既不充分也不必要条件． 故选：． 4(★★) 已知则“”的一个必要不充分条件是 (　　) ． 【答案】 【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要条件．故选：． 5 (★★★) 设，命题，命题，则是的 (　　) .充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】若，即有； 若，显然有； 若，则， 而，，所以， 故可以推出． 若，当时，如果，不等式显然成立，此时有； 如果，则有，因而； 当时，，此时有， 因而，故可以推出．