第一章 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数学 技巧五 形如王豆2型函数变形后使用基本不等式 g ( x ) f (.x) 若 y二ι土三中 f(x） 的次数小于 g(x） 的次数， f((x) 可取倒数后求其最值． Cx+5)(x十2) 【例 5】 求函数 y = , 1 Cx 手 1 ）的 值域． 技巧六 用“1”的代换法求最值 1 2 【例 6】 已知王十歹＝ l ，且 工＞o,y>O ，求 Z十y 的 最小值． 【点t平】 求以形如或可化为旦十立＝ l 型为条 x y 件的 ex十dy(a,b,c,d 都不为 0）的最值可利用 1 2 “1”的代换求乘法．本题中的条件一＋一＝ l 也 x y 可化为 2x+y xy=O. [ 1§1] 7］若 a,b 为常数，且 o＜工＜I ，求 JC户二 ＋~的最小值－ i一－x 【例 8】 若实数 a,b 满足 ab 4a b + 1 = 0 (a> 1) ，则 Ca+D • Cb+2）的最小值是 【点评】 已知条件含形如 ax十bxy十 cy十d= O Cabe芋0）型的关系式，求关于 x,y 一次式的和或 积的最值问题．常将关系式中 ax+bxy+ cy十d =O 变形，用一个变量 工（或 y）表示另一个变量 y （或工）后 求解． 技巧七 代换减元求最值 【例 9】 设正实数 x,y,z 满足x2-3xy+4y2-z= 0，则当之取得最小值时，z十2y-z 的最大值为 xy 【点评】 在含有两个以上变元的最值问题中，通 过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的 问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元 的问题使用函数方法求解． 技巧八 建立求解目标不等式求最值 【例 10】 已知 工 ，y 均为正实数，且 xy=x十y十 3' 则 xy 的最小值为 【点评】 利用基本不等式与已知条件建立求解 目标的不等式 ，求 出不等式的解集即得求解 目标 的最值． 第五节 二次函数与一元二次方程、不等式 布课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 命题 1. 一元二次不等式的解法 1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程． 角度 2. 一元二次不等式的恒成立问题 2. 通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的 联系，并会解一元二次不等式． 核心 逻辑推理、数学运算 素养 • 18 • 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 币基础知识。φ令。 …「 C•J日l~~匪i.'.'I~· ［知识梳理］ 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二 次方程的关系如下表 判别式 Ll> O Ll=O Ll< O Ll= b2 -4ac 二次函数 ¥- I U I J二y=ax2 十bx+ c （α＞o）的图象 | 惰两相等实 一元二次方程 ｜ 有两相异 尸 ax2 + bx+ c=O I 实根工1 ， 向 工1 ＝工2 （α＞o ）的根 ｜工2Cx1＜工z) I = 土 c.a 没有 实数根 ax2 十bx十c>o {x i x＃－工d l {x l xε R} （α＞o）的解集 ax 2 + bx+c<O I {x I x1 < ¢ ¢ Ca>O）的解集 I x＜工2 } 开口向上的二次不等式的解法顺口溜：大于取两 边，小于取中间． 恒成立问题的转化： α＞ ］ e x ） 恒成立 二＞ a > \ f( x)max ;a《J(x）恒成立＝均《f(x)min · \ 2. 能成立问题的转化： a>J (x ） 能成立＝〉α〉（ [Cx) min ;a:'S二f(x） 能成立＝〉αζf(x)ma_x· ［教材升华］ 1. （必修第一册 53 页练习 1 题改编）不等式（x-1) • (x-3)>0 的解集为 A. {xlx<l} B. {xlx>3} C. {xlx<l 或 x>3} D. {x 11 <x<3} 2. （ 必修 5Pso A 组 T4 改编 ）已 知集合 A= {x I ；工 1ζo},B = {xl 工2 - x - 6 < 0 ｝，则 A门B= A.( - 2,3) c. ( 2,2] C•i三’刑:JJ..i雹三’ B. ( - 2,2) D.[ 2,2] 一 、思考辨析（正确的打“J ”，错误的打“×”） (1）若不等式 ax2 +bx+c>O 的解集是｛x i x＜工1或 工〉工2 ｝，则方程 ax2 + bx+c= O 的两个根是工1 和 工2 . (2）若不等式 ax2 十bx+c<O 的解集为（工1 ，工2 ），则 C教师点评］ 一元二次不等式 ax2 + bx + c > 0 ： 必有 α＞o. （α＞o）的解集与其对应的函数 y＝ αxz 十bx十c 的图象有什么关系？ ；经典结论永流传 : \ 1. 分式不等式的解法 J(x