第五章 第三节 等比数列及其前n项和+培优微专题11 构造新数列-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

第五章数列 第三节等比数列及其前 η 项和 I⑦课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 1. 通过实例，理解等比数列的概念． 1. 等比数列的基本运算 命题 2. 探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式． 2. 等比数列的判定与证明 角度 3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解 3. 等比数列的性质及应用 决相应的问题． 4. 体会等比数列与指数函数的关系． 币基础知识。φ令。 ［知识梳理］ 1. 等比数列的有关概念 (1）定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个 数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字的表示，定义的表达式为T =q. i只有当两个数同号且不为 0 时，才有等比中 j i项，且等比中项有两个． : (2）等比中项：如果 α ， G,b 成等比数列，那么 G 叫做α 与 b 的等比中项．即 G是α 与 b 的等比中 项件a,G,b 成等比数列二＞G2 二ab. 2 . 等比数列的有关公式 推广 (1）通项公式：向＝αlqn- l==>an=am • qn- m. U 变形 jan ＝丁 • qn ，当 户0 且 q::;i= 1 时，可以看成函数（ )y= cqx ，是一个不为 0 的常数与指数函数的乘j ；积，因此数列 ｛ an ｝各项所对应的点都在函数y= jc_q_x 的图象上；当 q二 1 时， ｛ a_n ｝为非零常数列．； (2）前 η 项和公式 ： rna1,q= l, 二 .-, rna1,q二1, Sn可以1一矿） ，二二辛sn＝才 α1 一 I －－－：－一一伸手1 ｜ 一「一，件1. l 1-q . l 1 q 核心 素养 数学运算、逻辑推理 ···~ α1 (1- qn) is = = qn 十二L，若设 α＝ （ 1 q 1 q" 1 q : ！~ ，贝U Sn = -aqn +a （α::;i=O,q::;i=O,q::;i=l).) : 1 q : j 由此可知，数列 ｛ Sn ｝ 的图象是函数 y=) j aqx +a 图象上一系列孤立的点． i对于常数列的等比数列，即 q = l 时，因为j jα1手0，所以 Sn二na1. 由此可知，数列 ｛ Sn ｝ 的 i j 图象是函数 y ＝ α1 X 图象上一系列孤立的i j点． ［教师点评］l (1）已知肉，q,n,an, Sn 中的任意兰 个，即可求得其余两个即“知三求二”，这体现了 方程思想. ( 2 ）在等比数列求和时，要注意 q =l 和 q芋1 的讨论． ［教师点评］2 q > l.a1 >o 或 O<q<l.a1 <o 时， { an ｝是递增数列；当 q> l,a1 < o 或 O< q< l, a1 >0时， ｛ aη ｝是递减数列；当 q= l 时， ｛ an ｝ 是常 数列；当 q<O 时，｛an ｝是摆动数列． ；经典结论永流传 : J . 若 m+ n ＝ ρ ＋ l = 2是 Cm ， η ， ρ ， 1 ，是 εN铃） ，则 i am . aη 二ap • a1 二ar / 2. 若｛αη ｝ , {bn ｝（项数相同）是等比数列，则｛Jan} ! : 叫），｛t｝，｛札（αn ° bn } , ｛去）仍是等比： 数列－ ) 3 . 在等比数列 ｛ an ｝ 中，等距离取出若干项也构成（ 一个等比数列，即向，an忖忡忡2k, an＋悦， …为 ； 等比数列，公比为／ . • 131 • 高菩总复习·数字 ) 4. -{an ｝为等比数列，若 a1 • az •…. an ＝ 孔，则 i ( 丸，号，苔，成等比数列 ' is. 当 q芋 0 且 q芋 1 时， Sn =k-k •俨 Ck手 0）是 ： {an ｝成等比数列的充要条件，此时 k=-!!1--. 1 q • . 6. 有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的 ； 积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间 i 项的平方． ［教材升华］ 1. （多选题）（选择性必修第二册 31 页练习 l 题改 编）已知数列（αn ｝是等比数列，那么下列数列一 定是等比数列的是 ( ) A. ｛二｝ B. logza~ C. {an ＋αn十1} D. {an 十αn+l ＋αn+Z} 2. （选择性必修第二册 40 页习题 3 题改编）数列 {an ）的通项公式是 an ＝♂（α=FO） ，则其前 n 项和 Sn= ［⑦核心考点令令 回国配等比数列的基本运算 ［题组练透］ 1. (2022 •全国高考Z卷）已知等比数列｛an ｝的前 3 项和为 168，句句＝毡，则向＝ ( ) A. 14 B. 12 C. 6