第七章 第六节 利用空间向量求空间角、距离+培优微专题15 立体几何中的动态问题-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数字 第六节利用空间向量求空间角、距离 。课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 1. 异面直线所成角的求法 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相 命题角度 2. 线面角的求法 互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这 3. 二面角的求法 一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 4. 求空间距离 核心素养 数学运算、直观想象 I⑨基础知识。。令。 ［知识梳理］ 1. 异面直线所成角 设异面直线 a,b 所成的角为 0，则 ，其中 a,b 分别是直线 a,b 的方向向量． 2 . 直线与平面所成角 如图所示，设 1 为平面α 的斜线， B / l zna=A,a 'jJ l 的方向向量，d A去王旦7 平面 α 的法向量，？为 1 与α 所成 4一一一土／ 的角，则 sin 伊二 3 . 二面角 (1）若 AB,CD 分别是二面角 α － l一卢的两个平 面内与棱 t 垂直的异面直线，则二面角（或其补 角）的大小就是向量AB与CD的夹角，如图①． (2 ）平面 α 与卢相交于直线 f ，平面 α 的法向量为 n 1 ，平面卢的法向量为酌， ＜ n1 ,n2 ） ＝ ｛），则二面角 α －l 一卢为 0或 π－e. 设二面角大小为¢，则 I cosψ｜ ，如图②③． 图② "- B、 \ > "'- A"'- 〉－「分~l/ / C / / {3 "D / 图① 4 . 空间距离 (1）点到直线的距离 设AP= a，则向量AP在直线 1 上的投影向量AQ = Ca• u ) ／泣＼ n,_ • 凹 / ／”，也2 \ / l {3/ 图③ 斗A Q ···~ u. 在 Rt 6.APQ 中，由句股定理，得 PQ = J 1λP l 2 ｜ 豆画 1 2 二 .／a2 (a· u )2 . (2）点到平面的距离 已知平面 α 的法向量为 n ,A 是平面 α 内的定点，P 是平 面α 外一点．过点 P 作平面 α 的垂线 1 ，交平面 α 于点 Q，则 n 是直线 l 的方 p α 向向量，且点 P 到平面α 的距离就是AP在直线 J 上的投影向 量 QP 的长度．因此 PQ = IAP·__!!_l=I巴｜＝且lnl I I lnl lnl ［教师点评］ 1 两异面直线所成的角为锐角或直 角，而不共线的向量的夹角为co，刑，所以公式中 要加绝对值． ［教师点评J 2 (1）直线与平面所成角的范围为 [o号］ ，而向量之间的夹角的范围为［o ，ι所以 公式中要加绝对值． (2）注意直线方向 向量与平面法向量夹角的余 弦值的绝对值为线面角的正弦值． ［教师点评］3 (1）利用公式与二面角的平面角时， 要注意＜n1 ,nz ）与二面角大小的关系（2）注意二 面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的 范围为［O ，ι两个平面的夹角的范围为 ［o,fJ. • 182 • ：经典结论永流传 . j解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 如图，若 OA 为平面 α 的 1 ：一条斜线， 0 为斜足， OB 为 刀｜ 阳在平面 α 内的射影，OC 为 /a。假产／ i平面 α 内的一条直线，其中。 ：为 QA 与 OC 所成的角， 81 为 QA 与 OB 所成的（ （角，即线面角， 82 为 OB 与 OC 所成的角，那么 i : cos 8= cos 81 cos 82. . ［教材升华］ 1. c选择性必修第一册 38 页练习 1 题改编）已知直 线 l1 的方向向量 S1 = (1, 0, 1) 与直线 归的方向 向量 s2=C 1,2, 2），则 l1 和 l2 夹角的余弦值 为（） A子 B÷ c字 D子 2. C选择性必修第一册 41 页练习 3 题改编）正三棱 柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A 1 B1 C1 的 底面边长为 2，侧棱长为 2 -/2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的大小为 I⑦核心考点令令 曰罩异面直线所成的角 ［师生共研］ 【例 1】 如图，某圆锥 so 的轴 截面 SAC 是等边三角形， 点 B 是底面圆周上的一点， 且 ζBOC= 60° ， 点 M 是 SA 的 中点，则异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值是 ( ) 1 A - 3 c.f B号 J3 D. τ ：解题技巧 ! 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 Cl ）选择三条两两垂直的直线建立空间直角 i i坐标系； (2 ）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定i l异面直线的方向向量； 第它章 立体几何与空间向量 c,i三’刑:JJ..i雹三’ 一、思考辨析（正确的打“J ” ，错误的打“×”） (1）两直线的方