第九章 第二节 用样本数量特征估计总体-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

第丸章 统计与成对数据的统计分析 第二节 用样本数量特征估计总体 I⑦课程标准。。。。 ~ 新课程标准 考向预测 1. 结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众 数），理解集中趋势参数的统计含义； 命题角度 用样本的数字特征估 2. 结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极 计总体的数字特征 差），理解离散程度参数的统计含义； 3. 结合实例，能用样本估计总体的取值规律； 4. 结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义． 核心素养 数据分析、数学运算 I⑦基础知识。。令。 ［知识梳理］ （一）总体百分位数的估计 定义 意义 一组数据的第 ρ 百分位数 是这样一个值，它使得这 反映该组数 百分 组数据中至少有 ρ%的数 中小 于或等 位数 据小于或等于这个值，且 于该百分位 至少有 (100 一 ρ ） % 的数 数的分布 据大于或等于这个值 特点 （二）总体集中趋势的估计 1. 申位数：将一组数据按大小依次排列，处于最中 间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均 数）叫做这组数据的中位数． 2 . 众数：一组数据中出现次数 的数据叫做 这组数据的众数． 3 . 平均数：一组数据的算术平均数即为这组数据的 平均数，η 个数据工1 , xz ，…，凡 的平均数 至＝ _l n （工1 +x2十…十Xn) , （三）总体离散程度的估计 假设一组数据是 X1 , X2 ，…，句 ，用 5表示这组 数据的平均数，那么这 n 个数的： ~ (1）标准差 s=J士［Cx1-x阳工2-£)2 +• ·+Cxn一到2 J; (2）方差 s2 =_l[ (x1 x>2 +<x2 x>2 +…+ Cxn x>2J. n （四）分层随机抽样的均值与方差 分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配， 记总的样本平均数为 面，样本方差为 s2 . 以分两层抽样的情况为例．假设第一层有 m 个数分别为町，句，… ，Xm ，平均数为乙方差为 sr ; 第二层有 η 个数，分别为 Y1 ，刀，…， Yn ，平均数为 3，方差为 s~ . 则 主＝ _l艺町 ， sy = _l_ ~ （x; -x) 2 ,y= m，二 1 m ，二 1 _l 二己 v, , s~ = _l 艺 C v, - v ) 2 n ,~ 1 n ,~ 1 (1）则西＝一旦－x＋一旦一一 m + n m十n.Y (2) s2 ＝」一｛m[sr 十 Cx w) 2 ］十η［s~ + ( y m「－ n 西） 2 J}. f教师点评］ 1 众数的估计值为最高矩形的中点对 应的横坐标． ［教师点评］2 平均数的估计值等于频率分布直方 图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的 横坐标之和． f教师点评］3 中位数的估计值的左边和右边的小 矩形的面积和是相等的． • 235 • 高菩总复习·数字 ：经典结论永流传 . :i. 简单随机抽样样本平均数、方差的公式推广 (1）若数据 X1 ,Xz ，…，马的平均数为 x，则 mx1 . 十G ,m工2 十G ,mx3 十G，…， mxn 十G 的平均数是i mx＋α ； (2）若数据叫，句，…，岛的方差为 s2 ，则数据（ ax1 +b ,axz +b，…，axn +b 的方差为 α2 s2. / 2. 分层随机抽样样本均值、方差的计算公式的 推广 ; 如果将总体分为 h 层，第 j 层抽取的样本为i x j l ，工j2 ，…，叫n ，第 j 层的样本量为町，样本均（ 值为巧，样本方差为 s;,J=l,2 ，… ， k. 记 η＝ ~ : 町，所有数据的样本均值历和方差 sz 为：w＝~ : ~（η，五，） 's2 二 _l_~ ［n;sf +n; (x ; - :r)2]. , , n 户1 ., J ., ., ［教材升华］ 1. （人 A 必修第二册 202 页例 2 改编）为了弘扬体 育精神，某校组织秋季运动会，在一项比赛中，学 生甲进行了 8 组投篮，得分分别为 10,8,a,8,7, 9,6,8，如果学生甲的平均得分为 8 分，那么这组 数据的第 75 百分位数为 ( ) A. 8 B. 9 C. 8. 5 D. 9. 5 2. （人 A 必修第一册第 212 页例 6 改编）某学校有 高中学生 500 人．其中男生 320 人，女生 180 人． 希望获得全体高中生身高的信息，按照分层随机 抽样原则抽取样本，男生样本量为 32，女生样本 量为 18，通过计算男生身高样本均值为 I⑦核心考点令令 回国配总体百分位数的估 ［定向突破］ 考向一 计算一组数据的第 ρ 百分位数 【例 1】 对某自行车赛手在相同条件下进行了 12 次测试，测得其最大速度（