第八章 培优微专题16 解析几何运算中的常见技巧-【学易优】2024年高考数学一轮总复习（人教A版）

高菩总复习·数字 培优微专题 16一一解析几何运算中的常见技巧 技巧一 回归定义，化繁为简 回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念 解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方 法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发 点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥 曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活 应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功 倍的效果． 【例 1】 如图， F1 ，凡是椭 圆 C1 ：于＋ y2 =l 与双曲 线 C2 的公共焦点，A,B 分别是 C1 ,C2 在第二、四 y x 象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是 ( ) A.,/2 3 C. 2 B. )3 D.1 【点评】 本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建 立 IAF1 I, IAF2 I 的等量关系，从而快速求出双 曲线实半轴长 α 的值，进而求出双曲线的 离心 率 ，大大降低 了运算量． 技巧二设而不求 ，整体代换 对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉 及求中点弦所在直线的方程或弦的中点的轨迹方 程的问题时，常常可以用“点差法”求解． 【例 2】 已知椭圆 G：号＋乓＝ l(a>b>O）的右焦 a " b" 点为 F(3 ,/2,0），过点 F 的直线交椭圆于A,B 两 点．若 AB 的中点坐标为CJ言， ,/2），则 G 的方程 为（ A 乙＋±＝ 1 . 32 14 …2 _.2 C 之一十之一＝ l . 48 30 B 乙＋乒＝ l . 38 20 _ 2 …2 D 二十ι＝ l . 36 18 【点评】 本题设 出 A,B 两 点 的坐标 ，却不求 出 A,B 两点的 坐标 ， 巧妙地表达 出 直线 AB 的 斜 率 ，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量 之间的关系 ，从而快速解决问题． 技巧三 巧用“根与系数的关系”化繁为简 某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求 坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以 利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程 的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关 线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程 简捷． 酌】 己知椭圆手＋yz=l 的左顶点为 A，过 A 作两条互相垂直的弦 AM,AN 交椭圆于 M,N 两点． (1）当直线 AM 的斜率为 1 时，求点 M的坐标； ( 2）当直线 AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过 z 轴上的一定点？ 若过定点，请给出证明，并求 出该定点；若不过定点，请说明理由． 【点评】 本例在第 （2） 问 中 可应用根与 系数的关 系求 出 XM＝仨哇，这体现了 整体思想 这是解 川 l十4扩 决解析几何问题时常用的方法，简单易懂 ， 通过 设而不求 ，大大降低了运算量． • 226 • 技巧四 巧妙“换元”减少运算量 变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量 代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的 知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标 准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于 求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等 问题． 【侣。 4】 (2023 ·广东揭市模拟）已知椭圆 E：号＋ α 三＝ 1以〉叫左、右焦点分别为川2 ，离 心率为 e＝手，过左焦点 F1 作直线 l1 交椭圆 E 于A,B 两点，6ABF2 的周长为 8. (1）求椭圆 E 的方程； (2）若直线 l2 :y=kx+m(km<O ）与圆。：x2 十y2 = 1 相切，且与椭圆 E交于M,N 两点， IMF2 I 十 INF2 I 是否存在最小值？若存在，求出 IMF2 I+ INF2 I 的最小值和此时直线 l2 的方程． 第八章 平E解析几何 【点评】 破解此类题的 关键：一是利用已知条 件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的 值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域 容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原 函数的值域，形如 y=ax+b±Fx平歹（a,b,c,d 均为常数，且 αc芋0）的函数常用此法求解，但在 换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价 转化，这样目标函数的值域才不会发生变化． 技巧五 妙借向量，更换思路 平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与 “形”，融数形于一体，是数形结合的典范，具有几何 形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交 汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效 提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好 效果． 【例 5】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭 圆〈＋云＝ 1(问＞o）的右焦点，直线 y=f与 α－ 0 椭圆交于 B,C 两点，且ζBFC= 90°，则该椭圆的