2023年第四届百年老校数学竞赛试题

CSMC 第四届百年老校数学竞赛 江苏苏州 第一天 2023 2023年8月2日8：00-12：30 一.己知正实数x,y,z满足xyz=1.证明： 1 1 1+x+21+y+2+1+2+2≤1. 十 二.平面上互不相同的七个点A,B,C,D,M,EQ满足下列条件： (1)四边形ABCD是两组对边都不平行的凸四边形 (2)△MAB∽△MDC且为顺相似： (3)△PAB∽△PDC且为逆相似，△QAD∽△QBC且为逆相似. 证明：直线APBM,CQ交于一点. 注：对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那 么称这两个三角形互为顺相似，否则称这两个三角形互为逆相似 三.对正整数几，称两个n元0-1数组a=(1,x2,,xn)与B=(h,y2,…,yd 相邻，如果∑lx-yl=1. 证明：对任意整数m>22026,均存在正整数k,以及由m个两两不同的k 元0-1数组构成的集合A,使得A中每个数组都至少与A中2023个数组相邻. 注：如果将22026换为更大的数并证明结论，可以得到部分分数.第四届百年老校数学竞赛试题解析 I.试题 1.已知正实数x,,之满足xy2=1.证明： 1 1 1+x+护+1+y+2+1+2+2≤1 (福州一中卢伟供题) 2.平面上互不相同的七个点A,B,C,D,M,P,Q满足下列条件： (1)四边形ABCD是两组对边都不平行的凸四边形； (2)△MAB∽△MDC且为顺相似： (3)△PAB∽△PDC且为逆相似，△QAD∽△QBC且为逆相似. 证明：直线AP,BM,CQ交于一点. 注：对于两个相似三角形.如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么 称这两个三角形互为顺相似，否则称这两个三角形互为逆相似， (深圳中学金春来供题) 3.对正整数n,称两个n元0-1数组a=(a1,2,,xn)与B= (,2,…,)相邻，如果∑-州=1. 证明：对任意整数m>22026,均存在正整数k,以及由m个两两不同的k 元0一1数组构成的集合A,使得A中每个数组都至少与A中2023个数组相 邻. (南方科技大学付云皓供题) 4.已知平面直角坐标系中的点集 L={(x,)E,y∈{1,2，..，100}}. 设A是由平面上若干个凸多边形组成的集合，满足：A中每个凸多边形的 所有顶点均属于L,并且L中的每个点都恰好是A中一个凸多边形的顶点. 求A中所有凸多边形的面积之和的最小可能值， (苏州中学朱磊克供题) 5.给定奇素数p,求满足下述条件的最大正整数： 对任意非负整数ao,a1,,ak-1,存在非负整数u,v使得 Cw≡a(modp以，i=0,1,,k-1. 其中组合数Cπ(n,m是非负整数)定义如下： 如果m≤n,则C%=mm,否则C%=0.这里0！=1. (南方科技大学付云皓供题) 6.设n是正整数，记入是满足下述条件的最小实数入： 对任意n个复数1,2，，，均存在{1,2，…，n}的非空子集B使得 1. (1)求入 (2)求入100： (中国科学院数学与系统科学研究院王彬供题) Ⅱ.解答与评注 题1已知正实数x,,z满足x2=1.证明： 1 1 1 1+r+乎+1+y+2+1+名+≤1 2 证明1由柯西不等式，我们做放缩 1 z清+x号+ 1+x+≤r++羽 对上式轮换求和，可知我们只需证 (x号++)+(x++)+(x子+刘+名)≤(x3+3+)2 即只需证 x青+y+z是≤x+景+名号 由均值不等式 +w≥r=, 2 轮换求和可得上式 因此原式得证， 0 评注1一般的，对0≤a≤6≤Y≤26，（本题是a=0,8=1,Y=2的特 例)，我们可以证明： 0+yP+十护+29+n+0+r9+0≤1 取参数k=,考虑柯西放缩 1 2k-a+y2-8+z2k-7 a+8+7≤ (口++*)2， 轮换求和后只需证 ∑2-≤∑2以及∑2-9≤∑r 考虑函数g()=x++在t∈0，+oo)单调增，在t∈(-oo,0]单调减， 并且9(-)≤g(2).由于2k-B∈【-k,引，2k-a∈【-k,2,因此命题得证. 9)的单调性可以理解为：对t≥力之0有均值不等式异小+“≥， 轮换求和后可得9t1)-g(t2)≥产(g(t)-3)≥0. 证明2用∑表示轮换求和，我们考虑对左边式子通分： 分子=1+x+)1++ =∑1+x+y++2+w+2+2+) -3+空+2+++ 3 分母=(1+x+2)(1+y+22)(1+2+x2) =1+x+)+(y++x22+2) +(xy2+x22)+(x3+x3z2) =8+空++++++的+的 原问题等价于证明 x3y+y32+3x+x32+yx2+3y2≥(x++2)+(x2+2+22). 由均值不等式 0.5x3y+0.4322+0.1y3x2≥x2.9y0.820.8=x2.1. 上