内蒙古赤峰市2024届高三上学期开学考试理科数学试题

高三数学考试（理科） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则＝（ ） A. B. C. D. 2. 复数z的虚部为1，且，则z＝（ ） A. B. C. D. 3. 若，则＝（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 某公司统计了2023年1月至6月的月销售额（单位：万元），并与2022年比较，得到同比增长率数据，绘制了如图所示的统计图，则下列说法正确的是（ ） 注：同比增长率（今年月销售额去年同期月销售额）去年同期月销售额 A. 2023年1月至6月的月销售额的极差为6 B. 2023年1月至6月的月销售额逐月递增 C. 2023年1月至6月的月销售额的中位数为9.5 D. 2022年5月的月销售额为8万元 7. 已知，且，函数在上单调，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一个封闭的圆锥形容器内装水若干，如图①所示，锥体内的水面高度为，将锥顶倒置，如图②所示，水面高度为，已知该封闭的圆锥形容器的高为h，且，忽略容器的厚度，则（ ） A. B. C. D. 9. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，如图2，将筒车抽象为一个半径为10的圆O，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，以筒车的中心O为原点，线段OA，OB所在的直线分别为x，y轴建立如图所示的直角坐标系（A，B为圆O上的点），分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，则的最大值为（ ） A. 50 B. 75 C. D. 100 10. 已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 是偶函数 11. 如图，在正方体中，，点、分别为、的中点，则四面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 12. 已知，分别为双曲线Ε：的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长交E于点C，若，，则双曲线E的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 已知向量，，若，则______. 14. 若x，y满足约束条件，则的最小值为______. 15. 位于数轴上的粒子A每次向左或向右移动一个单位长度，若前一次向左移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若前一次向右移动一个单位长度，则后一次向右移动一个单位长度的概率为，若粒子A第一次向右移动一个单位长度的概率为，则粒子A第二次向左移动的概率为______. 16. 在锐角中，角的对边分别为，若，，则a的取值范围是______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 已知为正项等比数列，，记为数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）求. 18. “摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游戏的规则如下：第一次在装有2个红球、2个白球的A袋中随机取出2个球，第二次在装有1个红球、1个白球、1个黑球的B袋中随机取出1个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3个球的颜色与获得的积分对应如下表. 所取球的情况 球同色 三球均不同色 其他情况 所获得积分 100 60 0 （1）设一次摸奖中所获得的积分为X，求X的分布列和期望； （2）记甲在这次游戏获得0积分为事件M，甲在B袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N否相互独立，并说明理由. 19. 如图，正四棱台中，. （1）证明：； （2）若正四棱台的高为3，过的平面α与平行，求平面α与平面夹角的