专题46 向量法求空间角-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题46向量法求空间角 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：异面直线所成的角 题型二：直线与平面所成的角 题型三：平面与平面的夹角 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.掌握空间向量的应用. 2.会用空间向量求空间角和距离. 【考点预测】 1．异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝. 2．直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 3．平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. 【常用结论】 1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 2.二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是. 【方法技巧】 1.求异面直线所成的角的两个关注点 (1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的． (2)由于两异面直线所成角的范围是θ∈，两方向向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.　 2.求直线与平面所成角的方法 (1)定义法： ①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念； ③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角． (2)公式法：sin θ＝(其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，θ为斜线与平面所成的角)． (3)向量法：sin θ＝|cos〈，n〉|＝(其中AB为平面α的斜线，n为平面α的法向量，θ为斜线AB与平面α所成的角)．　 3.利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．　 (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 二、【题型归类】 【题型一】异面直线所成的角 【典例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. 【典例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角. 【典例3】如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【题型二】直线与平面所成的角 【典例1】在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点(如图1)，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1－BCDE(如图2)． (1)证明：平面A1BE⊥平面BCDE； (2)若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值． 【典例2】如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 【典例3】如图所示，在三棱锥S－BCD中，平面SBD⊥平面BCD，A是线段SD上的点，△SBD为等边三角形，∠BCD＝30°，CD＝2DB＝4. (1)若SA＝AD，求证：SD⊥CA； (2)若直线BA与平面SCD所成角的正弦值为，求AD的长． 【题型三】平面与平面的夹角 【典例1】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2