第三章 第5讲 对数与对数函数-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第三章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 55 第5讲 对数与对数函数 考纲知识解读 知识梳理 1. 对数的概念与性质 对 数 的 定 义 及常见对数 (1)一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x 叫 做以a为底N 的对数,记作x=logaN,其中a叫做对 数的底数,N 叫做真数 (2)以10为底的对数叫做常用对数,记作lgN (3)以e为底的对数叫做自然对数,记作lnN 对数的性质 (1)负数和零没有对数 (2)loga1=0(a>0,且a≠1) (3)loga =1(a>0,且a≠1) (4)loga N=N(a>0,且a≠1,N∈R) (5)a loga N =N(N>0) 2. 对数的运算法则 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga (M·N)=logaM+logaN; ②loga M N=logaM-logaN ; ③logaMn=nlogaM(n∈R); ④换底公式:logab= logcb logca (c>0且c≠1, b>0). a. 换底公式的变形: (1)logab·logba=1,即logab= 1 logba ; (2)logamb n= n mlogab ; (3)logNM= logaM logaN = logbM logbN . b. 换底公式的推广:logab·logbc·logcd= logad. 3. 对数函数的概念 把y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数, 其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 4. 对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 5. 指数函数与对数函数图象之间的关系 函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数 y=ax 互为反函数,函数y=ax 与y=logax (a>0,且a≠1)的图象关于y=x 对称,易知, 两函数的单调性、奇偶性一致. 补充提示 1. 对数源于指数,指数式和对数式可以互 化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与 指数式的互化进行证明,它们的关系见下图,注 意对数的书写格式. 2. 比较大小. (1)比较同底数的两个对数值的大小,例如 比较logaf(x)与logag(x)的大小,其中a>0且 a≠1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 56 ①若a>1,f(x)>0,g(x)>0, 则 loga f(x)> logag (x )⇔ f(x) >g(x)>0; ②若0<a<1,f(x)>0,g(x)>0, 则logaf(x)>logag (x)⇔0<f(x) <g(x). (2)同真数的对数值大小关系如图: 方法如下:过点(0,1)作平行于x 轴的直 线,直线方程为y=1.直线y=1与对数函数图 象交点的横坐标即该对数函数的底. ∴ b>a>1>d>c>0. 3. 常见对数方程式或对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)=logag(x)(a>0且a≠ 1)等价于f(x)=g(x),但要注意验根; 对于logaf(x)>logag(x)等价于 0<a<1时, f(x)>0, g(x)>0, f(x)<g(x). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 a>1时, f(x)>0, g(x)>0, f(x)>g(x). 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 (2)形如 F(logax)=0、F(logax)>0或 F(logax)<0,一般采用换元法求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋