第三章 第3讲 函数与二次函数-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 44 第3讲 幂函数与二次函数 考纲知识解读 知识梳理 1. 幂函数的定义 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其 中x 为自变量,α为常量. 2. 幂函数的图象 3. 常用幂函数的图象与性质 性质 特征 函数 y=x y=x2 y=x3 y=x 1 2 y=x-1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R y|y≥0 R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (-∞,0] 减,(0, +∞)增 增 增 (-∞,0)和 (0,+∞)减 公共点 (1,1) 4. 二次函数的定义 形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫 做二次函数. 5. 二次函数解析式的三种形式 6. 二次函数的图象和性质 a>0 a<0 图象 图象 特点 ①对称轴:x=- b 2a ;②顶点:- b 2a ,4ac-b 2 4a 性质 定义域 x∈R 值域 y∈ 4ac-b2 4a ,+∞ y∈ -∞,4ac-b 2 4a 奇偶性 b=0时为偶函数,b≠0时既非奇函数也非偶函数 单调性 x∈ -∞,- b 2a 时 递 减,x∈ - b 2a ,+∞ 时 递增 x ∈ -∞,- b 2a 时 递 增,x∈ - b 2a ,+∞ 时 递减 补充提示 1. 二次函数恒成立问题 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条 件是 a>0, b2-4ac<0. (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条 件是 a<0, b2-4ac<0. 2. 对于f(x)≥0在区间[p,q]上恒成立问 题,等价转换成f(x)在[p,q]上的最小值问题, 若f(x)中含有参数,问题解决起来往往比较麻 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第三章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 45 烦,对参数进行讨论,可以化繁为简. 3. 在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越 靠近x轴(简记为“指大图低”);在(1,+∞)上,幂函 数中指数越大,函数图象越远离x轴. 4. 幂函数的奇偶性:设y=xα α=qp,p,q ∈Z,p 与q 互质 ,若p,q 同时为奇数,则y= xα 是奇函数;若p 为奇数,q 为偶数,则y=xα 是偶函数;若p 为偶数,q 为奇数,此时y=xα 既不是奇函数,也不是偶函数. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 二次函数解析式的求法 求二次函数的解析式,一般用待定系数法, 其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析 式的形式,一般选择规律如下: 典型例题 例1 [江苏省镇江市丹徒高中期末]若二次函 数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)- f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)> 2x+m 恒成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)由f(0)=1得c=1. ∴ f(x)= ax2+bx+1. 又f(x+1)-f(x)=2x, ∴ a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+ 1)=2x, 即 2ax +a +b =2x. ∴ 2a=2, a+b=0, ∴ a=1, b=-1. 因此f(x)=x2-x+1. (2)f(x)>2x+m 等 价 于x2-x+1> 2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在 [-1,1]上 恒 成 立,只 需 使 函 数 g(x)=x2- 3x+1-m,在[-1,1]上的最小值大于0即可. ∵ g(x)=x2-3x+1-m,在[-1,1]上单 调递减, ∴ g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0 得m<-1. 因 此 满 足 条 件 的 实 数 m 的 取 值 范 围 是(-∞,-1). 即时训练 1.