第七章 第3讲 数列的通项与求和-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第七章 数 列 155 第3讲 数列的通项与求和 考纲知识解读 知识梳理 1. 等差数列{an}的通项公式:an=a1+ (n-1)d. 等比数列{an}的通项公式:an=a1qn-1. 2. 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式:Sn = n(a1+an) 2 =na1+ n(n-1) 2 d ;等比数列的前n项和 公式:Sn= na1,q=1, a1(1-qn) 1-q = a1-anq 1-q ,q≠1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 3. 常见数列求通项方法 (1)观察归纳法:通过观察数列的前几项与 对应项数之间的关系,归纳猜想出通项公式的 方法; (2)递推归纳法:已知数列的递推公式,可利 用递推公式写出数列的前几项,进而归纳出通项 公式,或者通过对递推公式变形,得出一个新的 等差(比)数列,从而得出数列的通项公式. 4. 常见数列的求和方法 (1)公式法:对于等差、等比数列直接利用公 式进行求和. (2)裂项法:把一个数列的通项公式分成两 项之差的形式,相加过程中消去中间项,只剩有 限再求和. (3)错位相减法:适用于一个等差数列和一 个等比数列对应项相乘构成的数列求和. (4)倒序相加法:例如,等差数列的前n 项和 公式的推导方法. (5)分组求和法:通过分组,将数列转化为特 殊数列,然后再求和. 补充提示 1. 一般的数列求和问题应从通项公式入 手,若无通项公式,应先通过累加法、累乘法、构 造法等求出通项,再根据通项的特点求和. 2. 解决非等差、等比数列的求和问题主要 有两种方法:其一为将非等差、等比数列问题转 化为等差、等比数列问题,其二为不能转化为等 差、等比数列的问题,可以考虑利用倒序相加法、 错位相减法、裂项法、分组求和法等进行求和. 3. 对于等比数列的求和问题,要注意根据 公比是否为1,进行分类讨论.等差数列的求和 公式有多种形式,要注意根据已知条件选择合适 的求和公式. 4. 常见求和公式 (1)1+2+3+…+n= n(n+1) 2 ; (2)12+22+32+…+n2= 1 6n (n+1)(2n+ 1); (3)13+23+33+…+n3= 1 4n 2(n+1)2; (4)1+3+5+…+(2n-1)=n2; (5)1+2+22+23+…+2n=2n+1-1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 156 重点难点突破 突破一 累加法 一般地,对于已知条件形如“an+1=an+ f(n)”的 题 目 求 通 项 公 式,若 f(1)+f(2) +…+f(n)容易求出,我们可以采用此方法来 求an,即 an =(an -an-1)+(an-1-an-2) +…+(a2-a1)+a1(n≥2). f(n)常见形式:(1)等差数列通项; (2)等比数列通项; (3)可裂项. 典型例题 例1 [广东江门一模]数列{an}中,a1= 1 2 , an+1=an+ 1 (n+1)(n+2) (n∈N*),则通项公 式an 为 . 解析 由已知,得an+1-an= 1 n+1- 1 n+2 , ∴a2-a1= 1 2- 1 3 ,a3-a2= 1 3- 1 4 ,…, an-an-1= 1 n- 1 n+1. 将上面(n-1)个式子相加,得an- 1 2= 1 2- 1 n+1 ,所以an=1- 1 n+1= n n+1. 答案 n n+1 即时训练 1. 已知各项都是正数的数列{an}的前n 项和为 Sn,Sn=a2n+ 1 2an ,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足:b1=1,bn-bn-1=2an (n≥2),数列 1bn 的前n 项和Tn.求证: Tn<2. 突破二 累乘法 一般地,对于形如“已知a1,且 an+1 an =f(n)” 的题目,若f(1)·f(2)·…·f(n)易于计算, 可通 过 累 乘 法 求 数 列 的 通 项 公 式,即 an = a