第七章 第2讲 等比数列-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 148 题型四 等差数列的判定或证明 11. [昆 明 五 华 区 期 中]已 知 函 数 f(x)= x 3x+1 ,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an) (n∈N*). (1)证明数列 1an 是等差数列,并求数列 {an}的通项公式; (2)记 Sn =a1a2+a2a3+ … +anan+1, 求Sn. 题型五 an 与Sn 的关系 12. [葫芦岛高二周测]已知Sn 是数列{an}的前 n 项和,且有Sn=n2+1,则数列{an}的通项 公式是 . 题型六 创新型问题 13. 设数列{an}的前n 项和为Sn,从条件① nan+1=(n+1)an,②Sn= (n+1)an 2 ,③ a2n+an=2Sn 中任选一个,补充到下面问题 中,并给出解答.已知数列{an}的前n 项和 为Sn,a1=1, . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn = -2nan,求 数 列{bn}的 前 n 和Tn. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 等比数列 考纲知识解读 知识梳理 1. 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等 比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q表示.需要注意的是,从第二项开始,每一 项与前一项的比等于同一个常数,其中从“第二 项”开始与“同一个常数”是关键点和易错点. 2. 等比中项 由三个数a,G,b组成的等比数列可以看成 最简单的等比数列,G 叫做a 与b 的等比中项, 且G2=ab. 3. 通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则 其通项公式为an=a1qn-1,特别地,对于等比数 列中任意两项am,an,am=anqm-n. 4. 前n项和公式 Sn=a1+a2+a3+…+an,当公比q=1 时,Sn=na1;当公比q≠1时,Sn= a1(1-qn) 1-q . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第七章 数 列 149 补充提示 1. 根据等比数列的定义可知,等比数列中 任一项都可以作分母,因此等比数列中无零项, 因此公比q的范围为q≠0,注意 an an-1 =q(q≠0) 是一个不变常数. 2. 当公比q 的情况不确定时,运用数列的 前n 项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类 讨论,防止因忽略这一特殊情形导致解题失误. 等比数列的求和问题要注意根据公比q 的情况 合理地选择求和的公式Sn= na1,q=1, a1(1-qn) 1-q ,q≠1. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 3. 解决等比数列的问题时,通常考虑两类 方法:①基本量法:即运用条件转化为关于a1 和 q的方程;②巧妙运用等比数列的性质,一般情 况下,运用性质可以化繁为简,减少运算量. 4. (1)任意两个数不一定有等比中项,G2= ab>0(a,b同号),如-1,1之间无等比中项. (2)两个数之间可能有一个或者两个等比中 项.如2,3之间等比中项可为 6,- 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 等比数列的基本运算 等比数列的基本运算涉及等比数列的通项 公式以及前n 项和问题,涉及首项a1,公比q,项 数n 等基本量,根据题意建立关于a1,q,n 的方 程或方程组,然后利用方程的思想解出a1,q,n 是关键. 典型例题 例1 [安徽合肥模拟]已知各项均为实数的数 列{an}为等比数列,且满足a1+a2=12,a2a4= 1,则a1= ( ) A. 9或 1 16 B. 1 9 或6 C. 1 9 或1 16 D. 9或16 解析 设等比数列{an}的公比为q,由题意 得 a1+a1q=12, a21q4=1, 所