第七章 第1讲 数列及等差数列-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 140 第七章 数 列 第1讲 数列及等差数列 考纲知识解读 知识梳理 1. 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前 一项的差是同一个常数,那么这个数列叫做等差 数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字 母d 表示. 需要注意从第二项开始,每一项与前一项的 差等于同一个常数,其中从“第二项”开始与“同 一个常数”是关键点和易错点. 2. 等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成 最简单的等差数列,A 叫做a 与b 的等差中项, 且A= a+b 2 ,特别地,对于等差数列中任意连续 三项an-1,an,an+1(n≥2,n∈N*),有2an= an-1+an+1. 3. 通项公式 an=a1+(n-1)d,其中a1 为首项,d 为公 差.当d>0时,数列{an}为递增数列;当d<0 时,数列{an}为递减数列;当d=0时,数列{an} 为常数列.特别地,对于等差数列中任意两项 am,an(m>n),am=an+(m-n)d. 4. 前n项和公式 Sn= n(a1+an) 2 =na1+ n(n-1)d 2 =pn 2+ qn(p,q∈R),数列中与首末两端等距离的两项 之和相等特点的数列适用倒序相加的方法求和, 譬如等差数列的前n 项和. 5. 等差数列的判定 (1)定义法:an+1-an=d(n∈N*)或an- an-1=d(n>1,n∈N*); (2){an}为等差数列⇔an=pn+q,p,q ∈R; (3){an}为等差数列⇔2an=an-1+an+1 (n≥2,n∈N*). 补充提示 1. 数列是一类特殊的函数,其定义域为正 整数集或其有限子集,要注意从函数的角度来理 解数列,研究函数问题的一系列方法都可以进行 适当的迁移. 2. 研究数列问题遵循先研究通项公式,然 后再根据通项公式的特点选择具体的求和方法 的原则,可以根据数列的通项公式的特点选择裂 项法,倒序相加法,分组求和法等. 3. an 与Sn 的递推关系是一类非常重要的 递推关系,其遵循an= a1,n=1, Sn-Sn-1,n>1,n∈N*, 必要的时候经过验证,如果a1 仍符合“Sn- 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第七章 数 列 141 Sn-1”,则可以合二为一. 4. 数列的通项公式以及前n 项和公式中都 含有多个未知的参数,要注意根据已知条件利用 方程的思想解决问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 等差数列单调性判断 由数列的单调性定义,易得: d>0⇔{an}为递增数列; d<0⇔{an}为递减数列; d=0⇔{an}为常数列. 典型例题 例1 [锦州附中周测]下列是关于d>0的等 差数列{an}的四个命题: p1:∀a1∈R,数列{an}是递增数列; p2:∀a1∈R,数列{nan}是递增数列; p3:∃a1∈R,使得数列{n2+an}是递减 数列; p4:∃a1∈R,使得数列 an n 是递减数列; 其中真命题为 ( ) A. p1,p2 B. p3,p4 C. p2,p3 D. p1,p4 解析 由于{an}是公差为d>0的等差数 列,对于p1,由d>0,所以{an}为递增数列; 对于p2,nan=dn2+n(a1-d),为二次函 数形式,不为单调数列,p2 为假. 对于p3,n2+an=n2+dn+(a1-d),对称 轴- d 2<0 ,在定义域上递增,p3 为假. 对于p4, an n =d+ a1-d n ,当a1-d>0,数 列 an n 是递减数列,p4 为真,选D. 答案 D 即时训练 1. [西安一中模拟]设等差数列{an}的公差为 d,若数列{3a1+an}为递减数列,则 ( ) A. a1d>0 B. a1d<0 C. d>0 D. d<0 突破二 等差数列的基本运算 等差数列的基本运算主要涉及通项公式以 及前n 项和公式的计算,以及已知通项公式与前 n 项和公式求某一项或具体项的和.等差数列的 通项公