第六章 第2讲 平面向量数量积及平面向量应用举例-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 132 A. |b|=1 B. a⊥b C. a·b=1 D. (4a+b)⊥BC→ 11. [湖北四校联考]已知平面向量a=(-1,3), b=(2,1),若 m=a-2b,n=ta+b,且 m∥n,则实数t= . 12. [南昌一模]已知向量a=(1,m),b=(4, m),若有(2|a|-|b|)(a+b)=0,则实数 m= . 13. [经典真题]设0<θ< π 2 ,向量a=(sin 2θ, cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ = . 14. 已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线? (2)若AB→=2a+3b,BC→=a+mb 且A,B, C 三点共线,求m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第2讲 平面向量数量积及平面向量应用举例 考纲知识解读 知识梳理 1. 两个向量的夹角 (1)定义:已知两个非零向量 a 和b,作 OA→=a,OB→=b,则 ∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. (2)范围:向量夹角θ 的范围是0°≤θ≤ 180°,a与b 同向时,夹角θ=0°;a 与b 反向时, 夹角θ=180°. (3)向量垂直:如果向量a 与b 的夹角是 90°,则a与b垂直,记作a⊥b. 2. 平面向量数量积 (1)已知两个非零向量a与b,则数量|a||b|· cos θ叫做a 与b 的数量积,记作a·b,即a· b=|a||b|cos θ,其中θ是a 与b 的夹角.规定 0·a=0. (2)a·b的几何意义:数量积a·b等于a的长 度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 3. 向量数量积的性质 (1)如果e是单位向量,则a·e=e·a; (2)a⊥b⇔a·b=0; (3)a·a=|a|2,|a|= a·a; (4)cos θ= a·b |a||b| ;(θ为a与b的夹角) (5)|a·b|≤|a||b|. 4. 数量积的运算律 交换律:a·b=b·a;分配律:(a+b)·c= a·c+b·c,对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a· (λb). 5. 数量积的坐标运算 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: (1)a·b=a1b1+a2b2; (2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0; (3)|a|= a21+a22; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第六章 平面向量 133 (4)cos θ= a·b |a||b|= a1b1+a2b2 a21+a22 b21+b22 . (θ为a与b的夹角) 补充提示 1. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同 时,表示两向量的有向线段所形成的角,若起点 不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角. 2. 两向量夹角的范围为[0,π]. 3. 若a,b∈R,且a·b=0,则有a=0或 b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0. 4. 若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得 b=c,但由a·b=a·c 及a≠0却不能推出 b=c. 5. 若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律) 成立,但对于向量a,b,c,(a·b)·c与a·(b· c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合 律的. 6. 若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对 于向量a,b,却有|a·b|≤|a||b|,当且仅当 a∥b时等号成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 向量数量积的计算 1. 向量数量积的计算公式: (1)定义式:a·b=|a||b|cos θ; (2)坐标公式:a·b=x1x2+y1y2. 2. 平面向量的数量积的运算有两种形式: 一是依据长度和夹角;二是利用坐标来