第九章 第2讲 圆的方程、直线与圆的位置关系-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第九章 直线和圆的方程 215 第2讲 圆的方程、直线与圆的位置关系 考纲知识解读 知识梳理 1. 圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表 示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程; (2)特别地,以原点为圆心,r(r>0)为半径 的圆的标准方程为x2+y2=r2. 2. 圆的一般方程 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为 x+ D 2 2 +y+ E 2 2 = D2+E2-4F 4 . 故有: (1)当 D2+E2-4F>0时,方程表示以 - D 2 ,- E 2 为 圆 心, D 2+E2-4F 2 为 半 径 的圆; (2)当 D2+E2-4F=0时,方程表示一个 点 - D 2 ,- E 2 ; (3)当 D2+E2-4F<0时,方程不表示任 何图形. (4)几种特殊圆的标准方程(r>0) 特殊条件 圆的方程 圆心在坐标原点 x2+y2=r2 圆心在x 轴上 (x-a)2+y2=r2 圆心在y 轴上 x2+(y-b)2=r2 过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a,b不 同时为0) 与x 轴相切 (x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0) 与y 轴相切 (x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0) 特殊条件 圆的方程 与两坐标轴都相切 (x-a)2+(y-a)2=a2(a≠0)或 (x+a)2+(y-a)2=a2(a≠0) 以A(x1,y1),B(x2,y2)为直 径端点 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y- y2)=0 3. P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系 (1)若(x0-a)2+(y0-b)2>r2,则点P 在 圆外; (2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P 在 圆上; (3)若(x0-a)2+(y0-b)2<r2,则点P 在 圆内. 4. 直线与圆的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设d 为圆心 (a,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消 元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d<r Δ>0 相切 d=r Δ=0 相离 d>r Δ<0 5. 圆与圆的位置关系 方法 位置关系 几何法:圆心距d 与r1,r2 的关系 代数法:两圆方程联立组 成的方程组的解的情况 外离 |O1O2|>r1+r2 无解 外切 |O1O2|=r1+r2 一解 相交 |r1-r2|<|O1O2|<r1+r2 两解 内切 |O1O2|=|r1-r2| 一解 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 216 方法 位置关系 几何法:圆心距d 与r1,r2 的关系 代数法:两圆方程联立组 成的方程组的解的情况 内含 |O1O2|<|r1-r2| 无解 6. 两圆相交时,公共弦所在直线的方程 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②,若 两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1- D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③.方程③ 表示圆C1 与C2 的公共弦所在直线的方程. 补充提示 1. 三个独立条件确定一个圆,一般用待定 系数法求圆的方程.如果已知圆心或半径或圆心 到直线的距离,可用标准式;如果已知圆经过某 些点,常用一般式. 2. 要 掌 握 利 用 轨 迹 和 圆 系 方 程 求 圆 的 方程. 3. 要注意数形结合,充分利用圆的性质,如 “垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于经 过切点的半径”“两圆相切时,切点与两圆圆心三 点共线”等,寻找解题途径,减少运算量. 4. 圆与直线l相切的情形———圆心到l的 距离等于半径,圆心与切点的连线垂直于l. 5. 圆与直线l相交的情形———圆心到l的 距离小于半