第九章 第1讲 直线的方程与位置关系-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 208 第九章 直线和圆的方程 第1讲 直线的方程与位置关系 考纲知识解读 知识梳理 1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角: ①定义:当直线l与x 轴相交时,取x 轴为 基准,x 轴正向与直线l向上方向之间所成的角 α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x 轴平行或 重合时,规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围:[0,π). (2)直线的斜率: ①定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做 这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即 k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式: 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2) 的直线的斜率公式为k= y2-y1 x2-x1 . 2. 直线方程的几种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k 与点(x0, y0) y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0 斜截式 斜率k与截距b y=kx+b 不含垂直于x 轴的 直线 两点式 两 点 (x1,y1), (x2,y2) x-x1 x2-x1 = y-y1 y2-y1 不含直线x=x1 和直线y=y1 截距式 截距a与b xa + y b =1 不含垂直于坐标轴 和过原点的直线 名称 条件 方程 适用范围 一般式 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 平面直角坐标系内 的直线都适用 3. 两条直线位置关系 方程 位置关系 斜截式: y=k1x+b1, y=k2x+b2 一般式: A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 平行 k1=k2 且b1≠b2 A1B2-A2B1=0, B1C2-B2C1≠0 或 A1B2-A2B1=0, A1C2-A2C1≠0 重合 k1=k2 且b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1 =A1C2-A2C1=0 4. 两条直线的交点坐标 设两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1= 0,l2:A2x+B2y+C2=0,则这两条直线的交点 坐标就是方程组 A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 的解. (1)若方程有唯一解,则这两条直线相交,此 解就是交点坐标; (2)若方程组无解,则这两条直线平行,此时 这两条直线无交点,反之,亦成立. 5. 距离公式 点P1(x1,y1),P2(x2,y2) 之间的距离 |P1P2|= (x1-x2) 2+(y1-y2) 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第九章 直线和圆的方程 209 点P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0的距离 d= |Ax0+By0+C| A2+B2 两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+By+C2=0间的距离 d= |C1-C2| A2+B2 补充提示 1. 符合特定条件的某些直线构成一个直线 系,常见的直线系方程有如下几种: (1)过定点 M(x0,y0)的直线系方程为y- y0=k(x-x0). (2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系 方程为Ax+By+C'=0(C≠C'). (3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系 方程为Bx-Ay+C'=0. (4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0和 A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(这个 直线系方程中不包括直线A2x+B2y+C2=0). 2. 对称问题: (1)中心对称: ①若点 M(x0,y0)关于P(a,b)的对称点为 N(x,y),则由中点坐标公式得 x=2a-x0, y=2b-y0. ②直线关于点的对称,其主要解决方法是: 在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它 们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出 直线方程,或者求出一个对称点,再利用l1∥l2, 由点斜式得到所求直线方程. (2)轴对称: ①点关于直线的对称: 若两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于直线l: Ax+By+C=