第二章 第1讲 不等式的性质及解法-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 16 第二章 不等式 第1讲 不等式的性质及解法 考纲知识解读 知识梳理 1. 实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0 ⇔a<b. 2. 不等式的基本性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 可乘性 a>b c>0 ⇒ac>bc a>b c<0 ⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b c>d ⇒a+c>b+d ⇒ 同向同正可乘性 a>b>0 c>d>0 ⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒a n>bn (n∈N*) 可开方性 a>b>0⇒ na>nb (n∈N*) 同正 3. 一元二次不等式的解集 二次函数y=ax2+bx+c的图象、一元二次方程 ax2+bx+c=0的根与一元二次不等式ax2+bx+c> 0和ax2+bx+c<0的解集的关系可归纳为: 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+ bx+c(a>0)的图象 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根 有 两 相 异 实 根x=x1 或 x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元二 次不等 式的解 集 ax2 +bx + c>0(a>0) {x|x <x1 或x>x2} {x|x≠x1} R ax2 +bx + c<0(a>0) {x|x1<x< x2} ⌀ ⌀ 若a<0,可以先将二次项系数化为正数,然 后对照上表求解. 4. 简单分式不等式的解法 分式不等式与一元二次不等式的关系: x-a x-b>0⇔ (x-a)(x-b)>0; x-a x-b<0⇔ (x-a)(x-b)<0. x-a x-b≥0⇔ (x-a)(x-b)≥0, x-b≠0; x-a x-b≤0⇔ (x-a)(x-b)≤0, x-b≠0. 补充提示 1. 两个同向不等式的两边不能分别相减, 也不能分别相除,在需要求差或商时,可利用不 等式的性质转化为同向不等式相加或相乘. 2. a≥b含义是“a>b”或“a=b”,只要其中 一个成立,则a≥b就成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第二章 不等式 17 a>b b≥c ⇒a>c,a≥bb>c ⇒a>c,a≥bb≥c ⇒ a≥c. 3. 要特别注意不等式成立的条件.对每一 条性质,要弄清条件和结论,注意条件加强和放 宽后,条件和结论之间发生的变化;避免由于忽 略某些限制条件而造成解题失误,要特别注意关 于符号的限制条件.如: a>b ab>0 ⇒1a<1b是成立 的,但a>b⇒ 1 a< 1 b 是错误的; a>b>0 c>d>0 ⇒ac> bd 是成立的,但 a>b c>d ⇒ac>bd 是错误的;a> b>0⇒an>bn(n∈N*)是正确的,但a>b⇒ an>bn(n∈N*)是错误的,当规定n 为正奇数 时,a>b⇒an>bn 是正确的. 4. 解不等式的基本思路是等价转化.分式不 等式整式化,高次不等式低次化,使要求解的不等 式转化为一元一次不等式或一元二次不等式,进 而求解,在转化过程中一定要注意变换的等价性. 5. 对于不等式ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤0)的求解,要联系:①函数 y=ax2+bx+c 与x 轴的交点;②方程ax2+ bx+c=0的根,同时注意a 是否为零. 6. 分式不等式同解变形为整式不等式时, 要注意分母不为零;含参数的不等式求解需要分 类讨论,讨论时要做到“不重”“不漏”“最简”三 原则. 7. 不等式组的解集是使各不等式同时成立 的解的范围,即各不等式解集的交集. 8. 要注意体会数形结合、分类讨论、等价转化 等数学思想的应用. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋