第八章 第5讲 空间向量在立体几何中的应用-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第八章 立 体 几 何 197 BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE 的长度为 ( ) A. 5 4 B. 11 4 C. 7 4 D. 2 4 10. [威海调 研]如图所示,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,设AD=AA1=1,AB=2,P 是C1D1 的中点,则B1C → 与A1P → 所成角的 大小为 ,B1C →·A1P →= . 11. [黑龙江双鸭山一中期末]已知O(0,0,0),A (1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q 在直 线OP 上运动,当QA→·QB→ 取最小值时,点 Q 的坐标是 . 12. 已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O 为原点,点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2a+b|; (2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得 OE→⊥b? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第5讲 空间向量在立体几何中的应用 考纲知识解读 知识梳理 1. 直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量就是指和这条直线平行 (或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以 有无数个. 注意:通常取直线上的两个特殊点构成直线 的方向向量;当直线平行于x 轴,y 轴或z 轴时, 直线的方向向量可分别取i=(1,0,0),j=(0, 1,0),k=(0,0,1). (2)平面法向量的求法: 一个平面的法向量是与平面垂直的向量,有 无数多个,任意两个都是共线向量. 若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要 建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解, 一般步骤如下: ①设平面的法向量为n=(x,y,z); ②找出(求出)平面内的两个不共线的向量 的坐标a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2); ③根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方 程组 n·a=0, n·b=0; ④解方程组,取其中的一组解,即得法向量. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 198 注意:求平面的法向量时,建立的方程组有 无数组解,利用赋值法,只要给x,y,z 中的一个 变量赋一特殊值(常赋值-1,0,1),即可确定一 个法向量,赋值不同,所求法向量不同,但n= (0,0,0)不能作为法向量. 2. 利用向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角: 设a,b 分别是两异面直线l1、l2 的方向向 量,则 l1 与l2 所成的角θ a与b的夹角<a,b> 范围 0, π 2 0<<a,b><π 求法 cos θ=|cos<a,b>|= |a·b| |a||b| cos <a,b>= a·b |a||b| (2)求直线与平面所成的角: 设直线l的方向向量为a,平面α 的法向量 为n,直线l与平面α 所成的角为θ,则sin θ= |cos<a,n>|= |a·n| |a||n|. (3)二面角的大小: ①若AB、CD 分别是二面角α l β的两个 面内与棱垂直的异面直线,则二面角的大小就是 向量AB→ 与CD→ 的夹角或其补角(如图①); ②n1,n2 分别是二面角α l β的两个面α、 β的法向量,则向量n1 与n2 的夹角(或其补角) 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③). 3. 利用空间向量求空间距离 (1)利用|AB→|2=AB→·AB→ 可以求空间中 有向线段的长度; (2)点面距离的求法: 已知AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面 α的法向量,点 B 到平面α 的距离为|BO→|= |AB→||cos<AB→,n>|= |AB→·n| |n| . 补充提示 1. 利用向量求空间角,一定要注意将向量 的夹角与所求的角区别开,在将向量夹角转化为 各空间角时,注意空间各角的取值范围,异面直 线所成角的范围是 0, π 2 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀪁 ,直线与平面所成角的 范围是 0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 2. 利用平面的法向