第八章 第4讲 空间向量及其运算-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第八章 立 体 几 何 191 (1)求证:PB⊥AC; (2)若 ,求点 A 到平面PCD 的距 离.在①PA=2;②二面角P CD A 的 大小为60°;③VP ABCD=12,这三个条件 中,任 选 一 个,补 充 在 问 题 中,并 加 以 解答. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第4讲 空间向量及其运算 考纲知识解读 知识梳理 1. 空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的 量叫做空间向量. (2)相等向量:方向相同且模相等的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所 在直线互相平行或重合的向量. (4)共面向量:如果两个向量a、b不共线,那 么向量p 与向量a,b 共面的充要条件是存在唯 一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb. 2. 空间向量中有关定理及其推论 (1)共线向量定理:对空间任 意两个向量a,b(b≠0),a∥b 的 充要 条 件 是 存 在 实 数λ,使 a =λb. 推论:如图所示,点P 在l上 的充要条件:OP→=OA→+ta,① 其中a 叫做直线l的方向向量,t∈R,在l 上取AB→=a,则①可化为 OP→=OA→+tAB→ 或 OP→=(1-t)OA→+tOB→; (2)共面向量定理的向量表达式:p=xa+ yb,其中,x,y∈R,a,b为不共线向量.推论的表 达式为 MP→=xMA→+yMB → 或对空间一点O 有 OP→=OM→+xMA→+yMB → 或 OP→=xOM→+ yOA →+zOB→,其中x+y+z=1. (3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b, c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实 数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,把(a,b, c)叫做空间的一个基底. 3. 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角:已知两个非零向量a,b, 在空 间 任 取 一 点 O,作 OA→=a,OB→=b,则 ∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其 范围是[0,π],若<a,b>= π 2 ,则称a 与b 互相垂 直,记作a⊥b. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 192 ②两向量的数量积:已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|·cos<a,b>叫做向量a,b 的数量 积,记作a·b,即a·b=|a||b|·cos<a,b>. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:λ(a·b)=(λa)·b; ②交换律:a·b=b·a; ③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c. 4. 空间向量坐标表示及其应用 (1)数量积的坐标运算: 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a· b=a1b1+a2b2+a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示: 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a∥b ⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a ⊥b⇔a·b=0⇔a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均 为非零向量). (3)模、夹角和距离公式: 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 |a|= a·a= a21+a22+a23, |b|= b·b= b21+b22+b23, cos<a,b>= a·b |a||b| = a1b1+a2b2+a3b3 a21+a22+a23 b21+b22+b23 . 若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB= |AB→|= (a1-a2)2+(b1-b2)2+(c1-c2)2. 补充提示 1. 零向量是一个特殊向量,在解决问题时 要特别注意零向量,避免因对零向量的忽视导致 错误. 2. 空间两向量平行与空间两直线平行是不同 的,直线平行不允许重合,而两向量平行,它们所在 的直线既可以平行,也可以重合. 3. 当p,a,b 都是非零向量时,共面向量定 理实际上也是p,a,b 所在的三条直线共面的充 要条件,但用于判定时,还需证明其中一条直线 上有一点在另外