第八章 第3讲 直线、平面垂直的判定及其性质-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第八章 立 体 几 何 185 第3讲 直线、平面垂直的判定及其性质 考纲知识解读 知识梳理 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义: 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直, 就说直线l与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论: 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条 直 线 与 一 个 平面内的 两 条 相 交直线都垂直,则 该直 线 与 此 平 面 垂直 a,b⊂α a∩b=O l⊥a l⊥b 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒l⊥α 推论 如果 在 两 条 平 行 直线中,有一条垂 直于平面,那么另 一条直线也 垂 直 于这个平面 a∥b a⊥α ⇒b⊥α (3)直线与平面垂直的性质定理: 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直 于 同 一 个 平 面的 两 条 直 线 互 相平行 a⊥α b⊥α ⇒a∥b 2. 直线与平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和 它在平面内的射影所成的锐角,叫 做这条直线和这个平面所成的角. 如图,∠PAO 就是斜线AP 与平面α所成的角. (2)线面角θ的范围:0, π 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 . 3. 二面角的有关概念 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一 点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平 面角. 4. 平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们 所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相 垂直. (2)平面与平面垂直的 判 定 定 理 与 性 质 定理: 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个 平 面 过 另 一 个平面的垂线,则 这两 个 平 面 互 相 垂直 l⊂β l⊥α ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直,则 一个 平 面 内 垂 直 于交线 的直 线 垂 直于另一个平面 α⊥β l⊂β α∩β=a l⊥a 􀮦 􀮨 􀮧 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ⇒l⊥α 补充提示 1. 在证明线面垂直、面面垂直时,一定要注 意判定定理成立的条件,同时抓住线线、线面、面 面垂直的转化关系,即: 2. 在证明两平面垂直时,一般先从现有的 直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存 在,则可通过作辅助线来解决,如有平面垂直时, 一般要用性质定理. 3. 几个常用的结论: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 186 (1)过空间任一点有且只有一条直线与已知 平面垂直; (2)过空间任一点有且只有一个平面与已知 直线垂直. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线与平面垂直的方法: 1. 定义法:若一条直线垂直于一个平面内 的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面. 2. 判定定理. 3. 若两条平行直线中的一条垂直于一个平 面,则另一条也垂直于这个平面. 4. 若一条直线垂直于两个平行平面中的一 个平面,则它必垂直于另一个平面. 5. 若两平面垂直,则在一个平面内垂直于 交线的直线必垂直于另一个平面. 6. 若两相交平面同时垂直于第三个平面, 则这两个平面的交线垂直于第三个平面. 典型例题 例1 [安徽蚌埠铁中期中]Rt△ABC 所在平 面外一点S,且SA=SB=SC,D 为斜边AC 的 中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 证明 (1)取AB 的中点E,连接SE,DE, 在Rt△ABC 中,D、E 分别为AC、AB 的中点, 故DE∥BC,且DE⊥AB. ∵SA=SB,∴△SAB 为等腰三角形, ∴SE⊥AB. 又∵DE⊥AB,SE∩DE=E, ∴AB⊥平面SDE. 又∵SD⊂平面SDE, ∴AB⊥SD. 在△SAC 中,SA=SC,D 为AC 的中点, ∴SD⊥AC. 又∵