第八章 第1讲 空间几何体-【高考总复习】2024高考数学一轮复习

高考总复习·数学 ●􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 170 第八章 立 体 几 何 第1讲 空间几何体 考纲知识解读 知识梳理 1. 空间几何体的结构特征 (1)多面体 图形 结构特征 棱柱 两个底面互相平行,其余各面是四 边形,侧棱互相平行 棱锥 底面是多边形,侧棱交于一点 棱台 上、下底面平行且相似,侧棱的延 长线交于一点 (2)旋转体 图形 结构特征 圆柱 两个底 面 互 相 平 行,有 无 数 条 母 线,且长度相等,都与轴平行,过轴 的截面是全等的矩形 圆锥 底面是圆面,有无数条母线,长度 相等且交于一点,平行于底面的截 面是与底面大小不同的圆,过轴的 截面是全等的等腰三角形 图形 结构特征 圆台 上、下底面平行且不相等,母线的 延长线交于一点,平行于底面的截 面是与两底面大小都不相等的圆, 过轴的截面是全等的等腰梯形 球 过球心的截面是大小相等的圆 2. 空间几何体的直观图 斜二测画法的步骤: (i)在已知图形所在的空间中取水平平面, 作互 相 垂 直 的 轴 Ox,轴 Oy,再 作 轴 Oz,使 ∠xOz=90°,且∠yOz=90°; (i)画直观图时,把Ox,Oy,Oz 画成对应的 轴O'x',O'y',O'z',使∠x'O'y'=45°(或135°), ∠x'O'z'=90°,x',O',y'所确定的平面表示水 平平面; (ii)已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的 线段,在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或 z'轴的线段,并使它们和所画坐标轴的位置关系 与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系 相同; (iv)已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段, 在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段, 在直观图中长度变为原来长度的一半; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋● 第八章 立 体 几 何 171 (v)画图完成后,去掉作为辅助线的坐标轴, 就得到了空间图形的直观图. 3. 空间几何体的表面积与体积 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r+r')l (2)空间几何体的表面积和体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=Sh 名称 几何体 表面积 体积 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V= 1 3Sh 台体 (棱台和圆台) S表面积=S侧+S上+S下 1 3 (S上+S下+ S上 S下 )h 球 4πR2 4 3πR 3 补充提示 1. 解决有关几何体的概念判断问题时,需 准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构 特征,并学会通过举反例对概念进行辨析. 2. 弄清面积、体积公式中各个字母的含义, 准确应用公式. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 重点难点突破 突破一 空间几何体的结构特征 在解决此类问题时,要熟练把握几种常见多 面体的结构特征: 1. 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱.特别 地,当底面是正多边形时,叫正棱柱(如正三棱 柱,正四棱柱). 2. 正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面 的射影是底面中心的棱锥.特别提醒:正四面体 是正三棱锥. 典型例题 例1 给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行 四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之 间的部分是棱台; ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个 侧面也两两垂直; ④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底 面,则该四棱柱为直四棱柱; ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑥棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是 . 解析 ①棱柱的侧棱都相等,侧面是平行四 边形,但不一定全等,故错误;②棱锥被平行于底 面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台, 故错误;③假设该三棱锥为 P ABC,且 PA, PB,PC 两